Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 93

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 109 >> Следующая


<} О 0 Соотношение между конечным (3.2) и инфинитезималь-ным (23.2) преобразованиями точно такое же, как соотношение между группой Ли и алгеброй Ли [1].

2. ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ («УСЕЧЕНИЕ» РЯДОВ ТЕЙЛОРА)

Функция f(х) эквивалентна функции f'(x), если существует гладкая замена переменных х' = х'{х), такая, что

/'(*') = /(*)•

(23.3)
248

Глава 23

Если / эквивалентна f и качественное описание поведения /' известно, то функция / должна иметь то же самое качественное описание. Поэтому часто бывает полезно найти (если, конечно, это возможно) полином конечной и достаточно небольшой степени, эквивалентный f.

Определение. Функцию f(x) назовем р-определенной в нуле, если для любой другой функции f' с той же самой р-струей существует гладкая замена переменных, такая, что

f(x) = f'[x'(x)\. (23.4)

Пример 1. Если f(x) = х, a f'(x) = sin х, то /7 = х, j]f' = х и pf — /V'-Осуществляя замену х' = arcsin х(\х\< 1, |л:'|< я/2), найдем, что

/' \х’ (я)] = sin х' = sin (arcsin х) = х = f (х). (23.6)

ООО Предположим, что f(x), f'(x)—две функции, имеющие /(0) = Г(0) = 0 и /‘/=/=0, /’/' ф 0. Тогда теорема о неявной функции гарантирует, что f(x)=f'[x'(x)], поскольку f и f‘ могут быть преобразованы к одной и той же канонической форме. В действительности всегда может быть найдена такая гладкая и даже линейная замена координат х' = х'(х), что

ilf'[x'(x)] = ilf(x). (23.6)

ООО Предположим, что f(x), f'(x)—две функции, имеющие /(0) = /'(())= 0 и jlf = jlf'= 0, но j2f и j2f' отличны от нуля и неособенны. Тогда, если j2f и j2f' имеют одинаковый индекс или сигнатуру (их квадратичные формы имеют одинаковое количество положительных и отрицательных собственных значений), то лемма Морса гарантирует, что / и /' могут быть преобразованы друг в друга путем гладкой замены координат, поскольку они эквивалентны одной и той же канонической форме. В действительности всегда можно найти такую линейную замену координат х' == х'(х), что

i2f'[x'(x)] = i2f(x). (23.7)

ООО Предположим, что функция f(x) является р-определенной. Если

ipf(x)^jpf'(x), (23.8а)

то

f(x) = f'[x'(x)]. (23.86)

В частности, одной из функций f'(x), р-струя которых равна jpf, является полином jpf степени р. Поэтому, если f'=jpf, то, согласно формуле (23.86), f(x) эквивалентна полиному степени р. Именно по этой причине утверждение «усечение разложения в ряд Тейлора» эквивалентно утверждению «преобразование удаляет хвост ряда Тейлора»,
Определенность и деформация

249

ООО В терминах определенности проблема нахождения канонических форм (гл. 2) сводится к проблеме определения классов функций, которые являются конечно определенными при

1- Р== 1 (2.1);

2. р = 2 (2.2);

3. р ^ 3 (2.3) и (2.4).

ООО Не всякая функция является р-определенной для некоторого конечного р. Очевидно, что функция (21.4) не мо-

жет быть конечно определенной в нуле, так как все коэффициенты ее ряда Тейлора равны нулю. Простые аналитические функции также не обязательно являются конечно* определенными. Например, функция f(x, у) = х2у не является конечно определенной. Это наиболее легко увидеть, рассматривая изменение х2у, вызываемое возмущением вида (у в достаточно большой степени):

/ (х, у) = х2у,

g{x, у) = х2у + ую\ (23.9)

h(x, у)=--х2у + y'°6+l.

Эти три функции имеют одинаковые р-струи (р < 106), однако структура их корней совершенно различна (рис. 23.1). Следовательно, эти три функции качественно различны.

Мы уже отмечали, что ответ на вопрос: «Является ли функция f(x) эквивалентной некоторому полиному f'(x) степени р?» — есть не что иное, как ответ на вопрос: «Какой класс функций эквивалентен полиному f'(x)=jpf(x)?» Оба эти вопроса

х2у-0 хгу+учетт-0 хгу*унечшно-0

х=0
(дВойной
корень)
у-о </=с Г-°
\
Рис. 23.1. Функция х2у не является конечно определенной. Структура корней (х2у + возмущение), где возмущение имеет вид у в достаточно большой степени, существенно зависит от того, является ли степень четной или нечетной.
250

Глава 23

являются эквивалентными, так как любое гладкое невырожденное нелинейное преобразование х' = х'(х) может быть обращено х = х(х') в соответствии с теоремой о неявной функции. Поэтому математически эти два вопроса можно записать так:

f'(x')±f[x(x')\, (23.10а)

f(x)Lf'[x'(x)]. (23.106)

Покажем на конкретном примере, что с формулой (23.106) работать значительно легче, особенно если использовать инфини-тезимальное нелинейное преобразование (23.2).
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed