Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
г2 = е~1* sin у0.
(15.37)
В этом случае имеем zI = cos-j9-
!2] |2 — |22|2=cos2-2 0— sin2-2-0 = cos0, г]г2=е-** sin ^0соэу0= = sin 0, функцию he можно привести к виду
(15.38)
he = - j е cos 0 + {W — ] У ]) (у sin б)2. (15.38')
dfi I
-gf = j sin 0 {e + (W - | V |) cos 0} = 0. (15.39)
Решениями этого уравнения являются
Ilf е
2 8 ‘ 2 I \ V\-W
(15.41)
+ 1Z1_^L}, е<|У|-Г.
е > | У | — W,
Квантовая механика
19
Нормализованная сила квадрупольного Взаимодействия
Рис. 15.1. Сравнение энергии основного состояния EJN для модели МГЛ (15.36) с W — 0, вычисленной путем диагонализации матрицы при N = 8, 20, 50, с аналитической зависимостью (15.41) для случая 0 ^ |V|/e ^ 5.
необходимо проводить каждый раз, когда изменяются параметры (К, W). Из рис. 15.1 видно, что численные значения Eg/N сходятся к аналитически полученному асимйтотическому значению (15.41) с ростом N.
Гамильтониан (15.25) фактически описывает два процесса. Член е/з достигает минимума, когда все нуклоны находятся в основном состоянии. Второй член (V) минимален, когда состояние каждого нуклона есть линейная комбинация основного и возбужденных состояний. Третий член (№) достигает минимума, когда все нуклоны находятся в основном состоянии (W > 0) или если состояние каждого нуклона есть линейная комбинация основного и возбужденных состояний (№<;0). Сумма этих трех членов минимальна, когда
|?> = со1(1, 0), е > | V | — W,
= со1 ( + _ JL l\V\- w~ e~H (15 42)
41 i{\V\-W) J ’ IK| L2(|F| — tt^)J )’
e < | V | — W.
Если сила взаимодействия достаточно велика (| V|— W > е), то она возбуждает каждый нуклон, переводя его в состояние, являющееся линейной комбинацией основного и возбужденных состояний. Это возбуждение, уменьшая собственную энергию отдельных нуклонов (е/з), еще больше увеличивает энергию
20
Глава 15
взаимодействия. Именно по этой причине при сильных взаимодействиях нуклоны «предпочитают» находиться в упорядоченном состоянии с sin 0 Ф 0, а не в основном состоянии 0 = 0. ООО Если V = 0, то минимальное значение he не зависит от азимутального угла ф. Эта инвариантность называется калибровочной инвариантностью-, она исчезает при Уф 0.
5.2. Модель Дикке
Для модели Дикке (15.26) первый шаг алгоритма, описанного в разд. 4, приводит к выражению
*. = Ы ^ + 1 е+ л () +
N N 2 N V УЛГ ) \ N )
+гШ(тг> <15-431>
Классический предел he этого оператора получается подстановкой o?/tJN = \l’ и т. д. В результате he можно записать через угловые переменные (0, ф), как это было описано в предыдущем разделе, т. е. в виде
hc — hcofx'fx — y е cos 0 + Ац* е~1ф sin 0) + А V (у е+1ф sin 0^ .
(15.43ii)
Эта функция инвариантна относительно следующих преобразований:
е~1ф ->е~г(*+'•’), (I ->\ie~(15.44)
В модели Дикке также имеется калибровочная инвариантность, как и в модели МГЛ при V = 0.
Функцию he проще всего минимизировать, исключив ц, ц* и воспользовавшись условием равенства нулю градиента:
^ = Лш|/ + А*(-^ег*зт0) = О. (15.45)
В результате получаем функцию от (0,Ф)
Лс = —ye cose —sin 0)2, (15.45')
совпадающую с (15.38'), если положить
-I я— = \V \ — W. (15.46)
Модель Дикке (15.26) всегда обладает калибровочной инвариантностью, в то время как для модели МГЛ (15.25) это так,
Квантовая механика
21
только если V = 0. Отсюда вытекает, что обе модели очень тесно связаны, когда V = 0 и W — —\K\2/ha.
В моделях МГЛ и Дикке происходят те же самые фазовые переходы второго рода на основном энергетическом уровне, поскольку их потенциалы tic, определяемые формулами (15.38') и (15.45'), по существу, идентичны. Однако, поскольку исходные гамильтонианы не изоморфны, физические детали фазовых переходов различны. Если |A|2>eftco, затраты энергии на перевод каждого атома в состояние линейной комбинации основного и возбужденных состояний и на то, чтобы в данном состоянии поля число фотонов было отлично от нуля, превосходят энергию, высвобождающуюся в результате поляризационного взаимодействия. Атомная |4^> и полевая I^f) суперпозиции состояний, минимизирующие энергию основного состояния (как полную, так и приходящуюся на одну частицу), приведены в табл. 15.2.
Таблица 15.2. Свойства модели Дикке при N->-оо
Нормализованная |>Ра)=со1 (г,. гг) l*f>
