Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Легко проверить, что множество точек (au, ai2> агь ^22) е R4, удовлетворяющих этим всем условиям, имеет следующие размерности:
1. Одно собственное значение равно 0 3-поверхность в R4 Два собственных значения равны 0
2. Матрица диагонализируема Начало координат в R4
3. Матрица недиагонализируема 2-поверхность в R*
Следовательно, множество точек в R6, на котором система уравнений (21.14) не имеет единственного решения, разбивается на подмножества размерностей 5(=3 + 2), 2 и 4. Так как поверхности размерности меньше п в R" имеют меру нуль, то свойство системы уравнений (21.14) иметь единственное решение является наследственным. Если рассматривать систему в ненаследственной точке (ац, ац, a[3, a2i, 022, 02з)е Rp, то малое возмущение (бац, 6012, йа13, бал, ^а22> 6023) ^R8 (вблизи начала координат) уже дает систему уравнений с отличным от нуля определителем и единственным решением. Таким образом, возмущение в точке, где имеет место наследственное свойство (устойчивая точка), качественно на это свойство не влияет. Возмущения же в неустойчивой точке будут приводить к значительным изменениям (в этом случае число решений меняется от бесконечности до одного).
Пример 2. В семействе функций Л3 свойство иметь изолированные критические точки является наследственным (т. е. морсовские функции обладают свойством наследственности).
Пример 3. В 2-параметрическом семействе функций присутствие катастрофы сборки является наследственным. Точка сборки ассоциируется с вырожденной критической точкой функции (1/4)х4. Если е/— произвольное возмущение, взятое из Табл. 2.2, то
i- х* + е/ — V (х; а, Ь). (21.15а)
Тогда для этого семейства найдем, что
V (*; — а, — Ь) + е/ = -j- х*. (21.156)
Таким образом, для данного 2-параметрического семейства V(x\a,b) всегда Можно найти возмущение, которое дает функцию с трижды вырожденной критической точкой. Короче говоря, (21.156) может быть использовано как «уничтожение сделанного» формулой (21.15а).
«Наследственность» — это полезное обобщение математического понятия «плотность» !). Если некоторая математическая система обладает наследственным свойством, то любой элемент
') Вместо термина «наследственная» часто используют такие термины, как «типичная» или «в общем положении» [3].
224
Глава 21
этой системы может быть с любой точностью аппроксимирован элементами, обладающими этим свойством. Например, немор-совская функция х3 может быть с любой точностью приближена морсовскими функциями *3+ а\х (положим ai-*-0).
ООО В гл. 5 было показано, каким образом ненаследственные точки (в которых VV = 0) могут быть использованы для получения информации о наследственных точках (VV ф 0) данной функции, а также каким образом ненаследственные функции (с вырожденными критическими точками) могут быть использованы для получения информации о наследственных (морсовских) функциях.
ООО Свойство функции «быть морсовской» является наследственным в любом из семейств катастроф, перечисленных в табл. 2.2.
4. ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ
Многообразие размерности п, или «-многообразие,— это гладкая поверхность, которая в любой своей точке локально устроена как евклидово пространство фиксированной размерности «. Сферическая поверхность х2 + у2 -f- z2 = I является 2-мерным многообразием. Отображение f одного «-многообразия & в другое «-многообразие Q является невырожденным в ре^1, если оно локально обратимо. Формальная проверка локальной обратимости проводится при помощи теоремы о неявной функции: если хи ..., хп — система координат в окрестности точки а fь fn— система координат в окрестности точки f{p) то отображение f локально обратимо
тогда и только тогда, когда якобиан преобразования отличен от нуля:
Грубо, но правильно говоря, поскольку & является «-многообразием, то оно локально выглядит в точке р подобно R". То же имеем и для многообразия Q в точке f(p). Поэтому (« X «)-матрица dfi/dxj задает линейное отображение (касательного пространства) R" в точке р в (касательное пространство) R" в точке
В качестве примера рассмотрим множество критических точек семейства функций (21.15):
I р
ф о, 1<л, /<;«.
(21.16)
Пр)-
(21.17)
хг -\-ax-\-b — 0.
Теорема Тома
225
Рис. 21.2. Уравнение VK(jc; а, Ь)= 0 представляет собой гладкое двумерное многообразие.
Полукубнческая парабола {х\ а, 6) = (Я.; — ЗА,2, 2Я.2), описывающая точки многообразия, в которых касательная плоскость вертикальна, также является гладкой. Особенности присутствуют лишь в отображении проектированию вниз на плоскость управляющих параметров.
Мы получили двумерное многообразие со складкой, общий вид которого изображен на рис. 21.2. Координаты любой точки этого многообразия, вложенного в трехмерное пространство R3, могут быть записаны следующим образом:
(х\ а, Ь) — (Ар Я2, —А3 — AjA2).
(21.18)
Теперь рассмотрим отображение проектирования 2-многообразия (21.17) на двумерную плоскость управляющих параметров R2, определяемое формулами