Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы обсуждали устойчивость функции и устойчивость отдельных функций в семействах функций, но при этом не затрагивали вопроса об устойчивости самого семейства функций.
Теорема Тома
221
Предположим, что мы имеет 1-параметрическое семейство функций, обладающих следующим свойством: некоторые члены этого семейства имеют два локальных минимума и локальный максимум, в то время как другие члены этого семейства имеют лишь один минимум. Для того чтобы сделать рассмотрение более конкретным, предположим, что семейство имеет вид
V (х; s) = -j х4 + y a (s) х2 + b (s) х, seR1, (21.10)
и что функция K(x;s3) соответствует точке р3 (рис. 21.1), а функция V(*;si) —точке pi. Любое гладкое 1-параметрическое семейство, содержащее обе функции l/(*;s3) и l/<*;si), должно содержать также все функции V’(*;s) некоторой кривой (a(s), b(s)), связывающей точки р3 и р\. Это означает, что функция V {х\ s2), имеющая дважды вырожденную критическую точку, обязательно должна входить в это семейство.
Теперь предположим, что семейство функций (21.10) подвергается действию возмущения е/ = -j 6а (s) х2 + 66 (s) х. Тогда
возмущенное семейство функций будет соответствовать кривой, связывающей точку р' с точкой р[. Ясно, что и в этом случае кривая должна пересекать полукубическую параболу, которая играет роль сепаратрисы между открытыми областями I и III. Следовательно, возмущенное семейство функций также содержит функцию V (*; Sj), имеющую дважды вырожденную критическую точку. В действительности любая кривая, связывающая точку вблизи р3 с точкой вблизи р\, должна пересекать сепаратрису. Таким образом, несмотря на то что функции с вырожденными критическими точками не являются устойчивыми, они могут устойчиво встречаться в семействах функций.
Концепция устойчивости может быть применена к функциям (Rn->IR1), семействам функций (RnX R^-^R1), отображениям (Rn->Rm) и семействам отображений (R"(g) R*—»Rm). В последнем случае понятие устойчивости работает следующим образом:
1. Два семейства fi(x; а).......fm(x; а) и gi(x\ а), ..., gm(x; а)
эквивалентны, если существует гладкая замена координат:
х^==== х^ . •.! хп\ ..., ^ ^ (21.11а)
a'^a'j(al.......ак), 1</<й, (21.116)
y'i = y'i(yi....Ут)> 1</<т, (21.11 в)
такая, что
У{ [/[ (х> а), ..., fm {х, c)J = g[ (x\ а), ..., хп (х, а),
а[{а), а'к{а)\. (21.12)
222
Глава 21
В обозначениях современной математики выражение (21.12) является утверждением о «коммутативности» следующей диаграммы:
R" <g> R* —^ Rm {х; а) (у)
(21.11а, б) J J (21.11 в) (21.13)
Rn <g> R* Rm (*'; а') (у')
2. Семейство отображений fi(x-,a).....fm(x;a) устойчиво,
если любое его возмущение gi(x;a), ..., gm{x\a) ему эквивалентно.
ООО Для элементарных катастроф, перечисленных в табл. 2.2, пространство R* управляющих параметров разбивается сепаратрисой (ее вид обсуждался в гл. 5) на открытые области. Любая функция, параметризуемая точкой одной из этих открытых областей, является морсовской функцией и поэтому структурно устойчива. Функция же, параметризуемая точками сепаратрисы, является структурно неустойчивой.
ООО Семейства функций (включая ихнеморсовскиефункции), перечисленные в табл. 2.2, только тогда встречаются структурно устойчивым образом в типическом й-параметрическом семействе потенциальных функций, когда они приводятся вблизи вырожденной критической точки к канонической форме (2.4). ООО Концепция структурной устойчивости впервые была изучена А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным [1] в контексте теории динамических систем. Динамическая система называется структурно устойчивой, если малые возмущения динамической системы качественно не изменяют решений уравнений движения. Частным случаем общей динамической системы является градиентная система, которая может быть описана отдельной функцией (ее потенциалом). Следовательно, понятие структурной устойчивости может быть применено к градиентным системам, и в частности к функциям, характеризующим такие системы.
3. НАСЛЕДСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА
Как только математическая система, зависящая от управляющих параметров, определена, возникает необходимость в изучении ее свойств- Свойства, присущие открытому всюду плотному подмножеству управляющих параметров этой системы, будем называть наследственными свойствами. Дополнение же к этому подмножеству элементов системы имеет меру нуль.
Теорема Тома
223
Пример 1 [2]. Рассмотрим математическую систему, состоящую из двух совместных линейных уравнений от двух неизвестных х и у:
апх + аиу = а13, Г ап а,2 1 Г х 1 Гаи!
или И* . (21.14)
ацх + амУ — о2з L а21 ^22 J L у J L 023 J
где все шесть коэффициентов ац вещественны. Система уравнений (21.14) параметризуется точкой в пространстве R®. Попытаемся выяснить, при каких условиях система уравнений (21.14) имеет единственное решение. Ясно, что единственное решение система уравнений имеет тогда и только тогда, когда ац022 — ai2a2i Ф 0. Поэтому (2 X 2)-матрица (21.14) может стать вырожденной при условии, что (1) одно ее собственное значение равно нулю или два ее собственных значения равны нулю и (2) матрица приводится к диагональному виду или (3) матрица приводится к жордановой форме.
