Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 81

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 109 >> Следующая


15. Curry J. H. Chaotic Response to Periodic Modulation of a Convecting Fluid, Phys. Rev. Lett., 43, 1013—1016 (1979).

16. Gibbs H. М., Hopf F. A., Kaplan D. L., Schoemaker R. L. Observation of Chaos in Optical Bistability, Phys. Rev. Lett., 46, 474—477 (1981),,
Часть IV

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

21

ТЕОРЕМА ТОМА

До сих пор, говоря о теореме Тома, обсуждая ее важность для теории катастроф и практическую значимость, мы избегали точной формулировки теоремы. Объясняется это тем, что формулировка теоремы невозможна без использования таких понятий, как возмущение, наследственность, устойчивость и особенности функций. Кроме того, теорема Тома по своей природе является «качественной» теоремой. Это означает, что мы должны иметь в своем распоряжений метод, позволяющий определить, когда две функции качественно одинаковы, а когда нет.

Теорема Тома имеет дело с многообразиями и с особенностями отображений из одного многообразия (критического многообразия) в другое (пространство управляющих параметров). Особенности легко могут быть рассмотрены в терминах теоремы об обратной функции; особенности встречаются в тех случаях, когда теорема не имеет места.

1. топология

До сих пор мы довольно свободно обращались с понятием «возмущение», или понятием «близость» одной функции другой. Чтобы формализовать это понятие, необходимо сначала найти способ наглядного представления «расстояния» между двумя функциями, или, что в данном случае эквивалентно, расстояния между любой и нулевой функциями. Здесь нам на помощь приходит топология. Существует один очевидный способ ввести топологию в множество функций, определенных на Rn, — это так называемая топология рядов Тейлора.

Построим ряд Тейлора функции f(x) в течке х°е R":

f(x) = f(x0) + (x — x0)ifi + -^-(x — x°)i(x — x0)ifi!+ .... (21.1)

Поскольку все производные берутся в точке х°, функция f(x) представляется точкой в некотором евклидовом пространстве. Например, если ограничиться лишь членами разложения (21.1) k-й степени (включая k), то можно считать, что коэффициенты [, fh fu> • • •, hi - ft принадлежат пространству RB, где

D= 1 + п +

п(п+ 1) .

2! ~Г

Сn + k— 1)1

постоянный линейные

член члены

k\ (п - 1)!

квадратичные

Члены

члены /г-Й степени

(п + ft)! nlkl

(21.2)
Теорема Тома

217

Усеченный до членов k-й степени ряд Тейлора функции f(x) в точке х° называется k-струей функции f в точке х° и обозначается символом jkf(x°) или просто jkf. Для любой гладкой функции f(x) jkf(x°) е Rfl.

Топологии в пространстве Rfl общеизвестны, и с ними легко работать. Если f, g— две функции, то расстояние между ними может быть определено следующим образом:

II/ — «!!»•=I/(*") — s Ml + ^l/i-«,l+ ЕI Ui — gsi I + ...

+ ,I-««...»!• <2Ui>

Если D конечно, то расстояние можно определить с помощью формулы

\\f-gV=\f(x°)-g(x0)\p+Z\fi-gif+Z\fi,-gi,\p+

i Ч

• • * "Ь J ///... ft — Я//... ft Г> (21.Зи)

где

р> 1. (21. Зр)

Открытые множества, а следовательно, и топология могут быть определены различным образом в зависимости от используемого способа определения расстояния между функциями (21.3i), (21.3 ii), (21.3 р), т. е. е-окрестность функции / содержит все функции g, отстоящие от f на расстоянии меньшем е. Если k конечно (следовательно, D также конечно), определения (21.3 i), (21.3ii), (21.3р) порождают эквивалентные топологии; если

&->-оо, D оо, то топологии различны. Наиболее полезна для нас топология, порождаемая определением (21.3 i).

Если &-»-оо, то соответствующая топология называется топологией С°° в точке х°. Эти топологии мы будем обозначать также Ck(x°\ R1), C°°(jc0; R1).

Введение топологий позволяет формально определить понятие «возмущение» в точке; g(;e) является возмущением функции f(x) в точке х°, если расстояние между g(x) и f(x) мало в ^-топологии (или С^-топологии) в точке х°. Если расстояние между g(x) и f(x) в О-топологии (или С°°-топологии) в точке х° меньше, чем е для всех ^gR", то говорят, что g(x) принадлежит г-окрестности функции f(x) в Ck (С°°) -топологии. Две функции, близкие друг другу в топологии С*, имеют свойство «быть равными почти всюду на Rn», а их соответствующие производные до k-й степени также равны почти всюду на R" Соответствующие топологии имеют следующее обозначение: Ck(Rn¦ R1) и C°°(Rn; R1).
218

Глава 21

ООО Понятия, введенные для функций, могут быть распространены и на отображения (у: Rn->-Rm). Для этого необходимо только заменить разложение в ряд Тейлора (2.11) на т разложений в ряд Тейлора (f^~yr, г = 1, 2, .. ., т). В этом случае необходимо лишь ввести дополнительную сумму по г в каждой из членов в правой части формулы (21.3 i). Соответствующие топологии обозначаются CA(Rn;Rm) и C°°(Rn; Rm).
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed