Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 80

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 109 >> Следующая


Цель этой главы заключалась в том, чтобы показать, каким более или менее упорядоченным образом можно подойти к проб-, леме построения таких интересных инвариантных множеств. Здесь был представлен подобный подход преимущественно графического характера. Размерность такого графического метода зависит от размерности п пространства состояний. Этот метод в упрощенном виде был использован для двумерного графического построения в комплексной плоскости корней усеченной матрицы устойчивости. Подобные методы дают возможность без особых затруднений строить динамические потоки и изолированные нелокальные инвариантные поверхности, а также помогают понять характер возникающих бифуркаций.

Было проведено изучение некоторых интересных нелинейных динамических систем, и среди них структурно устойчивого потока. Рождение такого потока происходит в результате бифуркации Хопфа, что является предельным циклом, топологически эквивалентным окружности Т\. По мере увеличения степени нелинейности структурно устойчивого возмущения гармонического осциллятора этот поток становится все более сплюснутым и деформированным. В пределе получим релаксационные колебания.

Кроме того, были изучены потоки в R3 и построен один интересный поток, замыкающийся на себя. В качестве исходного материала послужило одно из базовых нульмерных критических множеств в R3 {f2+ X Мо), а также механизм «обратной связи». Этот поток моделирует поведение простейшей нелинейности динамической системы в R3. Была рассмотрена пара таких нульмерных критических множеств в R3. Их можно было расположить таким образом, чтобы переменная состояния прыгала хаотическим образом от одного фокуса к другому. Этот результат дает весьма полезную наглядную демонстрацию поведения нелинейных уравнений Лоренца. Несколько подробнее были рассмотрены локальные критические свойства (гь г/, г4), однако относительно нелокальных бифуркаций (г2, г3) мы располагаем довольно скудными сведениями. Подобная система нелинейных уравнений была использована для описания неустойчивости слоя жидкости, подогреваемого снизу, и неустойчивого лазерного излучения.

Показана важность теоремы о центральном многообразии, представляющая собой для динамических систем аналог леммы Тома о расщеплении, предложенный для описания положения равновесия градиентных систем. Использование этой теоремы позво-
Уравнения, приводящие к катастрофам

215

ляет уменьшить размерность сложной нелинейной задачи с п = = dim (Rn до dim Vc. Последнее как раз является числом собственных значений матрицы устойчивости Fi, с нулевыми действительными частями. Таким образом, исследование бифуркаций исходной динамической системы сводится к исследованию лишь таких бифуркаций, которые могут возникнуть на центральном многообразии. Это обстоятельство служит обоснованием описанных методов определения «неприводимых потоков» для «-мерных динамических систем.

В заключение было дано описание картины Рюэля — Тейкен-са перехода к турбулентности в результате каскада из четырех, трех или меньшего числа последовательных бифуркаций Хопфа. Приведено обсуждение двух гидродинамических экспериментов, результаты которых согласуются с описанной картиной. По-видимому, с ней согласуются также и наблюдения перехода к турбулентности в оптически бистабильной системе [16].

Литература

1. Zeeman Е. С. Catastrophe Theory, Selected Papers 1972—1977, Reading: Addison-Wesley, 1977.

2. Rossler О. E. Different Types of Chaos in Two Simple Differential Equations, Z. Naturforsch., 31a, 1664—1580 (1976).

3. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atoms. Sci., 20, 130—141 (1963).

4. Robbins K. A. Periodic Solutions and Bifurcation Structure at High r in the Lorenz Model, SIAM J. Appl., Math., 36, 457—472 (1979).

5. Treve Y. M. Theory of Chaotic Motion with Application to Controlled

Fusion Research, in: Topics in Nonlinear Dynamics, A Tribute to Sir Ed-

ward Bullard (S. Jorna, Ed.), New York: American Institute of Physics, 1978, pp. 147—220.

6. Saltzman B. Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem— 1. /. Atoms Sci., 19, 329—341 (1962).

7. Risren H., Nummedal K. Self-Pulsing in Lasers, /. Appl. Phus., 39, 4662— 4672 (1968).

8. Haken H. Analogy Between Higher Instabilities in Fiulds and Lasers, Phys. Lett., 53A, 77—78 (1975).

9. Arnol’d V. I. Ordinary Differential Equations, Cambridge: М. I. T. Press, 1973.

10. Ruelle D-. Takens F. On the Nature of Turbulence, Commun. Math. Phus., 20, 167—192 (1971).

11. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications, New York: Springer, 1976.

12. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurence of Strange Axiom A Attractions Near Quasi — Periodic Flows on Tm, m ^ 3, Commun. Math. Phus. 64, 35—40 (1978).

13. Gollub J. P., Swinney H. L. Onset of Turbulence in a Rotating Fluid, Phus. Rev. Lett., 35, 927—930 (1975).

14. Gollub J. P., Benson S. V. Chaotic Response to Periodic Perturbation of a Convecting Fluid, Phys. Rev. Lett., 41, 948—951 (1978).
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed