Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
г г N
Для моделирования взаимодействия предположим, что переход из /-го состояния в t-e (/ > i) связан с испусканием (рождением) фотона в квазирезонансном состоянии. Если Хц есть ди-польный матричный элемент этого перехода, то член взаимодействия имеет вид
г N
? ZvWnVv»’¦ <15-32>
1<г</а=1
(Множитель N~l/2 включен по термодинамическим соображениям.)
16
Глава 15
Полный гамильтониан (15.31)+ (15.32), описывающий взаимодействие между двумя подсистемами [поле с ^ ^ ^ состояниями и N одинаковых л-уровневых атомов], можно записать в виде
26 ,( а а Е\
n~qV^n'^W''~n)- ( 5,33)
(По техническим соображениям будем предполагать, что hQ — полином конечной степени от усредненных бозонных операторов a^/^N, a/'s/N и усредненных многочастичных операторов E/N.)
Гамильтониан в случае модели Дикке (15.26) является прототипом гамильтонианов вида (15.33). Для вывода гамильтониана Дикке из (15.33) положим
4, = а+, Ма) _ а+,
21 а *
а2 j --- а, = °а>
12
е11
е2 --- ~ 2 ’
со, 81 = в Я21
--- ~2 ’
Гамильтонианы вида (15.33) называют моделями Дикке или расширенными моделями Дикке в зависимости от того, г — 2 или г > 2. Гамильтонианы вида (15.33), включающие дополнительные члены (например, Е\р Etj Ejkaik)t кроме билинейных членов взаимодействия вида а?.?.,, называют моделями типа
] I I]
Дакке (г = 2) или моделями расширенного типа Дикке (г > 2) (см. табл. 15.1).
Различие между моделями, для которых прототипами являются модели МГЛ и Дикке, состоит в следующем. В первом случае имеется только одна система (нуклоны), а во втором — две взаимодействующие подсистемы (атом и поле). Для получения моделей расширенного типа Дикке можно воспользоваться приближением среднего поля, как это было сделано для получения моделей расширенного типа МГЛ. В этом приближении поле ведет себя классическим образом по отношению к атомам, а атомы в свою очередь проявляют свойства классического тока по отношению к полю [8]. В таком приближении гамильтониан hq заменяется полуклассическим гамильтонианом, описывающим одну систему с квантовомеханических позиций, а дру-
Квантовая механика
17
гую — с классических:
<15-35А>
*«(w' fb4w' (?))• (15-35F)
Здесь a# — a, a+, а средние значения даются (15.24). Полу-классические гамильтонианы для атома На и поля hF комплементарны.
4. АЛГОРИТМ ДЛЯ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ,
СОПРОВОЖДАЮЩИХСЯ ИЗМЕНЕНИЕМ ЭНЕРГИИ основного состояния
Качественное поведение квантовой системы, находящейся в основном энергетическом состоянии, весьма чувствительно к изменению, величины параметров, описывающих в гамильтониане силы взаимодействия. Эти параметры можно трактовать как управляющие параметры системы. В такой ситуации при изменении параметров управления система может претерпевать качественные изменения (фазовые переходы).
Существует простой трехшаговый алгоритм для изучения фазовых переходов в случае моделей, описанных в разд. 3. Этот алгоритм основан на предельных классических результатах, изложенных в разд. 2, и включает следующие шаги:
1. Ж/N = hQ (а#/¦y/N, Е/N)-
2. hQ — hc = (hQ) = hQ ((а#/л/Л), (E/N)).
3. Eg/N — 1П!п/гс.
Качественное изменение основного состояния квантовомеханического гамильтониана Ж = NhQ происходит, когда качественно меняется минимум классической функции he.
5. ПРИЛОЖЕНИЯ
5.1. Модель МГЛ
Для данной модели (15.25) первые два шага этого простого алгоритма могут быть представлены как * _ \ &(Е22-Еп)
N 2 N
т г {W+ ($¦)*} +
+ т“7{тг’т}’ <15-30»
*с = -Т*№,-г'л) + т У{(*Х)г + №,)’} +
+ 2 W №) + (г^0 (г1г2)}-
18
Глава 15
Классическую функцию hc следует минимизировать по z\ и гг, где j2i|2-j-122j2 = 1. Фаза полной волновой функции |гР> = = col (2i, z2) произвольна. Эту фазу можно выбрать так, чтобы z\ было действительным и неотрицательным. Тогда zx~yj\—z\z2-Удобно определить г2 как
Используя элементарные тригонометрические тождества
hc = — -j е cos 0 + ~ У (-j sin 0)2 (е~21ф + е+21ф) + W (j sin 0)2.
Эта функция зависит от азимутального угла <f>, если У Ф 0. Вначале ее можно минимизировать по ф:
Минимум достигается в 0 = 0, если параметры квадрупольного взаимодействия У, W малы или равны нулю. Критические точки h'c можно определить обычными методами:
sin 0 = 0, cos 0 = j у w при | У | — W > ъ. (15.40)
Фазовый переход второго рода имеет место при |У|—W = в. Энергия одного нуклона в основном состоянии равна
На рис. 15.1 это асимптотическое значение величины Eg/N сравнивается с величиной Eg/N при конечных N. Эти конечные значения были подсчитаны путем численной диагонализации гамильтониана (15.25), который является (2/ + 1)Х(2/ + 1)-матрицей, где J = N/2 [10]. Такую диагонализацию матрицы
