Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
< R* с< 29 существует единственный периодический режим. В этом режиме энергетический спектр имеет фурье-компоненты, соответствующие основной частоте и ее гармоникам. При 29 с< ^#*<39,8 периодическое движение вырабатывает сильную субгармонику в энергетическом спектре с частотой, равной половине основной частоты. Это явление аналогично бифуркации к замкнутым периодическим траекториям с двойными петлями при значении гь (рис. 20.20) с той лишь разницей, что такой переход окружен спинодалями. В области 31,3 <#*<41,9 наблюдается -квазипериодический режим с несоизмеримыми частотами (оь «г- Хаотический режим с широким частотным диапа-
Уравнения, приводящие к катастрофам
211
в
Рис. 20.32.
а —схема эксперимента для изучения неустойчивости по Рэлею — Бенару методом светового рассеяния; 6 — экспериментальные данные, демонстрирующие наличие периодического, квазнпериоднческого и хаотического режимов; в —сочетание различных режимов [14]. X — периодический; О “ квазипернодический; А — хаотический.
зоном в энергетическом спектре возникает при 38,2 < R*. Ветвь, соответствующая единственной частоте и субгармонике, теряет устойчивость при R* = 39,8, а ветвь квазипериодического движения теряет устойчивость при Я* = 41,9. В области 41,9с
< R* < 50 наблюдается только хаотический режим.
Экспериментальные наблюдения были качественно воспроизведены на модели динамической системы с 14 переменным*' со-
212
Глава 20
Стационарный резким
I ^
ОрВита с двойной петлей t
Кдазиперио-вический , режим I
Хаос
Рис. 20.33.
Критическое поведение модели с 14 переменными состояния для уравнения Навье — Стокса в приближении Буссинеска соответствует только одному типу устойчивости при каждом значении R. Последовательность типов периодических замкнутых орбит хорошо аппроксимирует картину, наблюдаемую в экспериментах для изучения неустойчивости по Тейлору и по Рэлею — Беиару методом светового рассеяния [15].
стояния [15]. Такая система уравнений получается из уравнений Навье — Стокса в приближении Буссинеска. Метод, которому следовал автор работы [15], в точности совпадает с методом, использованным Зальцманом [6] и Лоренцем [3], с той лишь разницей, что пространство переменных состояния было расширено до 14 измерений за счет удержания 14 первых четных коэффициентов ряда Фурье.'Качественное соответствие поведения этой модели экспериментальным наблюдениям Голуба и Бенсона говорит о том, что модель может быть, по существу, верной, а ошибки возникают за счет усечения пространства переменных состояния.
Рассматриваемая теоретическая модель изучалась при фиксированном числе Прандтля, равном 2,5, и переменном числе Рэлея. В рамках этой модели существует, по-видимому, лишь один устойчивый орбитальный тип при каждом значении приведенного числа Рейнольдса R*. Последовательность бифуркаций показана на рис. 20.33. Такая картина, определяемая выбранной моделью, находится в согласии с картиной Рюэля — Тейкенса перехода к турбулентности, видоизмененной Ньюхау-зом. Экспериментальные результаты, полученные Голубом и Су-инни, а также Голубом и Бенсоном, дают основания полагать, что картина Рюэля — Тейкенса, по-видимому, правильна в своей основе, однако Природа нашла такие способы в изобретении и комбинировании последовательности из трех бифуркаций Хопфа,
Уравнения, приводящие к катастрофам
213
R
Рис. 20.34.
Картина перехода к турбулентному режиму по Рюэлю — Тейкеису содержит последовательность из трех бифуркаций Хопфа к периодической орбите (<0i), квазипериодической орбите (СО), ©2) и другой квазипериодической орбите (<0ь со2, со3), которая под действием возмущения может перейти в хаотическую орбиту. (Могут также возникать и другие типы бифуркаций.) Взаимное расположение трех бифуркаций Хопфа может привести к системам, в которых наблюдаются все три стадии (а), две стадии (б) или только одна стадия (в). Каждая из показанных бифуркаций является бифуркацией Хопфа. ----- устойчивость;---неустойчивость.
что действительное поведение реальных физических систем оказывается даже более интересным, чем поведение при трех последовательных бифуркациях, предложенных Рюэлем и Тейкен-сом. На рис. 20.34 схематически показано, каким образом три, две или даже одна бифуркация Хопфа могут инициировать переход к турбулентности.
9. ВЫВОДЫ
Нелинейные системы, по существу, являются более трудными для изучения, чем их линейные аналоги. Для описания п-мерных нелинейных динамических систем мы не располагаем таким ши-
214
Глава 20
роким комплексом теорем, который существует для описания линейных динамических систем. Поэтому лучший выход состоит в том, чтобы найти интересные точки и поверхности в пространстве R" и вблизи таких инвариантных множеств выполнить линейный анализ устойчивости.
