Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
208
Глава 20
ческим с угловой частотой coi. При дальнейшем возрастании с указанный предельный цикл остается устойчивым до тех пор, пока не будет достигнуто значение с =*= с2, при котором усеченная (п—1) х (п—1)-матрица устойчивости (одно из направлений устраняется за счет потока Г1) имеет пару комплексносопряженных собственных значений с нулевыми действительными частями. Возникает вторая бифуркация Хопфа, и при с > с2 исходный предельный цикл неустойчив, но окружен предельным тором Р. Поток на этом торе является квазипериодическим с компонентами частоты (соь со2)- В общем случае со» — функции управляющего параметра с. При увеличении с отношение компонентов частоты может быстро изменяться между иррациональным (непериодическое движение) и рациональным (периодическое движение) значениями.
Проанализируем (п — 2) X (п — 2)-матрицу устойчивости на двумерной инвариантной поверхности при дальнейшем увеличении с. При с = с3 третья пара комплексно-сопряженных собственных значений может иметь действительные части, проходящие через нуль. Тогда тор Р становится неустойчивым при с > > с3 и будет окружен устойчивым инвариантным тором Р Этот случай также может описывать квазипериодическое движение с угловыми частотами coi, юг, соз-
При с — с4 получаем следующую бифуркацию Хопфа, о чем свидетельствует появление у усеченной (п — 3) X (п — 3)-матрицы устойчивости (п ^ 5) двух чисто мнимых собственных значений. При с > с4 тор Г3 неустойчив, но он окружен устойчивым потоком на PcRn (п ^ 5). Рюэль и Тейкенс [10] показали, что этот поток не будет общим для всех систем. Произвольные возмущения, образующие открытое множество в пространстве возмущений F(x\c), (с > с4) квазипериодического потока с частотами (соь со2, соз, со4) на Г4 обладают странными аттракторами. Ньюхаус, Рюэль и Тейкенс [12] показали, что турбулентное поведение может возникнуть в случае, когда три собственных значения переходят в правую полуплоскость.
Эта общая картина перехода к турбулентности не зависит от выбора модели, причем нет необходимости в том, чтобы возникновение турбулентности осуществлялось прохождением через каскад трех или четырех локальных бифуркаций Хопфа. Меньшее их число будет достаточным для нелокальных переходов. ООО По сравнению с картиной перехода к турбулентности, предложенной Ландау, описанная картина «более экономно расходует» бифуркации. Механизм перехода к турбулентности по Ландау связан с бесконечным каскадом бифуркаций (рис. 20.20) в области изменения управляющего параметра га~^ г ^ га„. Согласно этому механизму, система будет вести себя хаотически
Уравнения, приводящие к катастрофам
209
Рис. 20.31.
а—схема эксперимента для изучения тейлоровской неустойчивости методом светового рассеяния; б — экспериментальные данные, демонстрирующие наличие одного периодического режима, двух квазипериоднческих режимов и турбулентного режима. (Перепечатано из работы [13].)
только благодаря большому числу ненулевых параметров порядка.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований, по-видимому, свидетельствуют о том, что предложенная Рюэлем и Тейкенсом картина перехода к турбулентности дает по меньшей мере правильное направление в решении задачи. Авторы работы [13] изучали тейлоровскую неустойчивость (рис. 20.31) методом светового рассеяния. Вода была заключена в кольцевом зазоре между вращающимся стальным цилиндром радиусом rj и коаксиальной q цим стеклянной трубой внутреЦ’
ним радиусом г2. Период вращения т связан с числом Рейнольдса R соотношением R = 2nr\d/vx, где v — кинематическая вязкость. Свет, рассеянный небольшим объемом жидкости, несет информацию о частотных фурье-компонентах радиальных составляющих скорости жидкости. Эта информация, записанная с номощыо физических приборов, показана на рис. 20.31 в виде зависимости приведенной частоты /* = /т от числа Рейнольдса R* = R/RTt нормированного таким образом, что возникновению турбулентности соответствует значение R* =1,0. Появление различных режимов происходит при следующих значениях R*: R* - = 0,064, Да = 0,54 ± 0,01, RI = 0,78 ± 0,03, Я* =1,0. Бифуркация к хаосу при #4=1,0 оказалась воспроизводимой без гистерезиса. Мода, связанная с f*2j затухает при R * = 0,78 ± ± 0,04. По-видимому, исчезновение моды, связанной с частотой f*2 непосредственно сопровождается появлением новой моды с частотой /*, Кроме того, по всей видимости, бифуркация Хопфа
при R* =1,0 приводит к квазипериодическому движению с частотами oil, иг, соз, которое структурно неустойчиво и под влиянием естественно возникающих возмущений начинает затем вести себя хаотически. Такое хаотическое поведение характеризуется широким энергетическим спектром. В рассматриваемой системе переход к турбулентности связан с четырьмя последовательными бифуркациями, одна из которых (при #* = 0,54) может и не потребоваться для возникновения хаотического поведения.
Для изучения неустойчивости по Рэлею — Бенару авторы работы [14] применили метод светового рассеяния. Сводка полученных ими результатов представлена на рис. 20.32. Здесь Rc — число Рейнольдса, при котором возникает бифуркация к конвективному движению. При \<R*—R/Rc<20 движение имеет конвективный характер, причем поле скоростей не зависит от времени. В области 20 < R* с< 50 могут существовать четыре различных, зависящих от времени поля скоростей в перекрывающихся диапазонах изменения числа Рейнольдса. При 20 <
