Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Центр
Тгхм1
?ЯШ)
В трехмерном случае можно изучить критические'множества размерности 0 (критические точки), 1 (предельные циклы), 2 (инвариантные торы). В критической точке все собственные значения могут быть действительными или образовывать комплекс -но-сопряженную пару. Спектр изолированных критических точек содержит точки типа М\ и F±XM\ (рис. 20.27). В случае одномерного критического множества необходимо рассмотреть два собственных значения. Спектр критических потоков содержит потоки типа Tl Xи T‘y^F±. Потоки последнего типа представляют собой неустойчивое и устойчивое винтовые поля Sc±, показанные на рис. 20.13 и 20.12. Если мы имеем дело с двумерным критическим множеством Т2, остается одно собственное значение, так что соответствующие потоки будут типа 7"2Х М\. Рис. 20.27 содержит всю информацию, представленную на рис. 20.9—20.15. Более того, теперь нетрудно заметить, какие критические потоки располагаются вблизи других критических потоков в смысле буфуркаций. Например,
74 х Я
Бифуркация Хопфа
^‘х^ + гх^^
«= Sc+ + Г2 X Мо>
(20.52)
как уже ранее отмечалось.
Уравнения, приводящие к катастрофам
203
•
м? ¦ Fl*M\
Т1 Т1
•
tel *
Т’хМ? •
к*2 * Т2*М{
Рис. 20.27. Критическое множество в пространстве R3 может иметь размерность k = 0, 1,2.
Число собственных значений усеченной матрицы устойчивости во взаимно ортогональных направлениях равно 3 - к. Этн собственные значения могут быть расположены в комплексной плоскости. Соответствующие потоки будут типа Т* X или Т* X F2^ X
X мЗ-е+Ч
Несмотря на то что по сравнению с результатами, изложенными в разд. 1 и 4, мы не получили пока никаких преимуществ при использовании рассматриваемого метода, он существенным образом упрощает анализ критических поверхностей в случае динамических систем размерности 4 (рис. 20.28). В случае ^-мерной инвариантной поверхности (k < п) необходимо рассмотреть п — k ^ 1 собственных значений. При k = 0 (предельная точка) устойчивость будет соответствовать типу М.\, F2± X Afi или F2±XF±. При k=\ предельным потоком служит предельный цикл, причем остается рассмотреть три собственных значения (рис. 20.27); при k =2 существует предельный поток на торе Т2, причем могут появиться два остальных собственных значения (рис. 20.25); при k = 3 следует обратиться к рис. 20.24 (сводка критических потоков в R4 представлена на рис. 20.28):
k = 0, М\, F2± X Щ, Я± ХЯ±;
k=l, Г ХМ3, PXF2±XM\\
k — 2, Т2ХМI T2XF2±;
k = 3, т3хм\.
204
Глава 20
Fix F*
k-o
A= 1
k=2
X=3
Рис. 20.28. Критическое множество в пространстве R4 может иметь размерность к — 0, 1, 2, 3.
Число собственных значений усеченной матрицы устойчивости во взаимно ортогональных направлениях равно 4 — к. Эти собственные значения могут быть расположены в комплексной плоскости.
Легко установить бифуркационные свойства этих критических потоков. Например, поскольку
Т'ХПХМ' *’•*>РX(П +
+ Р X Mi) X МJ = Р X я+ X MJ + Р X Ml
можно видеть, что Г'Х^-Х-Мо располагается вблизи Т2у^Мо,
3 1
но не вблизи Т Х-М*.
Аналогичным образом можно рассматривать критические потоки и при более высокой размерности пространства управляющих параметров. Остается открытым вопрос о том, можно ли таким методом получить все критические потоки, или, точнее, будут ли критические потоки, полученные в результате указанного процесса построения, структурно устойчивыми к возмущениям. По-видимому, при п> 4 это не так [10].
7. ТЕОРЕМА О ЦЕНТРАЛЬНОМ МНОГООБРАЗИИ
До сих пор рассматривались только некоторые из потоков, которые могут встречаться в динамических системах, причем наше внимание было сосредоточено исключительно на системах малого числа измерений. Такой подход мог бы считаться оправ-
Уравнения, приводящие к катастрофа»!
205
данным, если бы существовал некоторый аналог расщепления (2.4), справедливый для динамических систем.
Оказывается, что такой аналог есть, и им является так называемая теорема о центральном многообразии [11]. Предположим, что
x = F(x;c), л:еКп, cgRj,
kU- R" (20'53>
является ^-параметрическим семейством динамических систем. Смена устойчивости происходит в критической точке или потоке, как только одно или несколько собственных значений соответствующей матрицы устойчивости имеют не равную нулю действительную часть. Если критическая точка возникает в х° при с = с0, то линеаризация вблизи критической точки дает соотношение
Xi = F{j (х°; с0) блг/ + Члены более высокого порядка. (20.54)
Можно разбить линейное векторное пространство перемещений дх из х0 на три линейных векторных пространства: