Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 75

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 109 >> Следующая


Найдем не зависящие от пространственной координаты и времени решения системы (20.46). Для этого положим все производные по пространственной координате и времени равными нулю и будем строить решение получающихся нелинейных уравнений. В результате находим, что

? = 0, Я = 0, D — D0 —0 (20.47)

является решением при всех значениях D0. При Do ^ D0,\ = = 3ft/CY/(2ncoo|Mge|2) существуют ненулевые решения, для которых

Онепр. волн == Do, 1,

IЕ |непр. волн = —5^-1 Do - D0,, |’/2, (20.48)

I Р I — 2л(0°-1 F I

\г «непр. волн х I ^ 1непр. волн*

Решения (20.47), соответствующие «включению» лазера, устойчивы при условии, что они находятся ниже порогового значения (Мо), и неустойчивы, если выше порогового значения

При превышении порогового значения решения (20.48) первоначально устойчивы.

Все величины Е, Р, D можно выбрать в действительности. Исследование устойчивых решений (20.46) целесообразно проводить путем введения безразмерных величин, относя характе-
200

Глава 20

ристики поля к соответствующим непрерывным волновым решениям, т. е. Е' = Е/\Е\ непр. волн И Т. Д. Тогда система уравнений Блоха — Максвелла принимает более простой вид

(ж + v)p'“,?'z)'1 <20-49>

(ж+V.) # - V, (т§г) - V, (т?г - 1 )Е’Р’.

При помощи преобразования системы координат можно устранить член, содержащий производную по пространственной координате и заключенный в квадратные скобки. Замена переменных

Е'— ах, r= а — л/b (г— 1),

Р' = Щ), ® = “¦» = (20.50)

Т ^

приводит уравнения (20.49) к форме, изученной Лоренцем [8].

6. ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ. 3

Из предыдущего следует, что сведения о типе и свойствах критических точек и потоков, обычно встречающихся при исследовании я-мерных динамических систем, имеют большое значение для понимания качественных изменений в поведении таких систем. Принцип построения, использованный в разд. 1 и 4, оказался удобным для получения сведений о критических свойствах л-мерной системы на основании результатов, полученных для системы размерности п—1, когда мы совершали переход от одномерного случая к двумерному и от двумерного к трехмерному. Очевидно, что если необходимо распространить этот принцип построения на случай более высоких размерностей, то для этого потребуется разработка нового подхода к решению задачи.

Согласно новому подходу (рис. 7.2, разд. 19.6) [9], описание потоков стрелками в пространстве R" заменяется изучением распределения корней матрицы устойчивости (в комплексной плоскости), соответствующих критической точке или критическому потоку (инвариантная поверхность):

— при п — 1 имеем только один корень для критической точки, причем последняя будет типа Мо или м! (рис. 20.24);
Уравнения, приводящие к катастрофам

201

мо

Рис. 20.24. Изолированная критическая точка в пространстве R1 может быть либо Afg, либо AfJ типа.

I

«

• •

м! г- /ч

Рис. 20.25. Изолированная критическая точка в пространстве R2 характеризуется двумя собственными значениями матрицы устойчивости.

Эти значения могут либо быть оба действительными, либо составлять комплек?но-ео-пряжениую пару.

Центр

Т1хМ1

П

Г'*”}

Рис. 20.26.

Если два собственных значения для изолированной критической точки являются мни* мымн, соответствующие потоки определяются центром. Такой поток структурно неустойчив. Под действием возмущения эти два собственных значения могут смещаться в отрицательную полуплоскость (устойчивый фокус). В таком случае в результате бифуркации Хопфа возникает неустойчивый предельный цикл Т1 X Если возмущение смещает комплексные собственные значения в правую полуплоскость, рождается устойчивый предельный цикл.

— при п — 2 имеем два корня в критической точке. Они могут быть оба действительными, тогда критическая точка будет типа М\ (i = 0,1.2), или образовывать комплексно-сопряженную пару, тогда критическая точка будет типа F± (рис. 20.25). Предельные циклы связаны с комплексно-сопряженной парой собственных значений, переходящих через мнимую ось. На рис. 20.26 показаны возмущения в случае струц-
202 Глава 20

турной неустойчивости, когда на мнимой оси возникают два ненулевых корня. На рис. 20.26,а показано, как возмущение смещает оба корня в левую полуплоскость, создавая устойчивый фокус. Одновременно может быть создан неустойчивый предельный цикл (или разрушен устойчивый предельный цикл). Это явление представлено единственной точкой в правой полуплоскости. Одно из двух собственных значений снято, поскольку критическое множество уже будет не точкой, а одномерным потоком (ё = const). Другое, малое по величине собственное значение связано с радиальной координатой в полярной системе. На рис. 20.26,6 показано, каким образом возмущение, отличное от описанного выше, может привести к возникновению неустойчивого фокуса F2+ и устойчивого предельного цикла Тх X М\. Эта бифуркация может быть представлена следующей схемой;
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed