Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
И2) = jV-1 ? VUn.tirs/ffeW. (15.28)
а ф Р
Множитель N-1 включен по следующим соображениям. В любом Лг-нуклонном состоянии I^P) — среднее значение оператора е(“> любой отдельной частицы по величине порядка единицы. Если элементы матрицы рассеяния V' имеют порядок единицы, то величина суммы в (15.28) порядка N2. В результате (15.27i) и (15.28) не будут совпадать по порядку величины, если (15.28) не поделить на N.
На данном этапе целесообразно пояснить, что имеется в виду под «приближением среднего поля». При таком приближении элементы V матрицы рассеяния в (15.28) не зависят от а и |3. Иными словами, для каждой частицы «наблюдаемая картина» взаимодействий такая же, как и для любой другой частицы. Таким образом, взаимодействие типа «частица — частица» можно заменить неким средним взаимодействием
? Z Е 1/а(гУ)Р(^)ег“)ег5) = 'дГ X (га) Z ^ Z ^ =
а Р(('Л М (i/Mrs) а р
= N ? y<W^4r)(lf)- (15’27ii)
(i/)(rs)
В результате замены матричных элементов (N—\)V' = NV сумма включает и «самовзаимодействия» (а = (3).
В приближении среднего поля не принимаются во внимание соображения, учитывающие внутриядерные расстояния, и другие тонкие детали, которые находят отражение в более реалистических моделях ядерных взаимодействий. Тем не менее при таком подходе существенно упрощается расчетная сторона дела
и, по существу, «неподъемная» задача заменяется вполне обозримой. Более того, для систем с большим числом нуклонов
14
Глава 15
такая модель дает достаточно хорошее приближение. При численных расчетах систем с небольшим числом нуклонов на каком-то этапе всегда применяется приближение среднего поля. Исключение составляют лишь необычайно сложные программы для решения специальных задач на ЭВМ.
По причинам феноменологического характера может возникнуть необходимость в рассмотрении членов гамильтониана, описывающих одновременное рассеяние трех или более нуклонов. В приближении среднего поля и с учетом нормировки взаимодействие трех частиц описывается членом вида
= N (15.27Ш)
Аналогичный вид имеют члены, описывающие взаимодействие четырех и более нуклонов. Из физических соображений можно ожидать, что 2-нуклонные взаимодействия (15.27П) более существенны, чем 3-нуклонные (15.27Ш); 1/(3) более важно, чем 1/(4),
и т. д.; Л^-нуклонный гамильтониан есть сумма членов вида (15.27i), (15.27Н), (15.27iii), ... с убывающей степенью значимости. Его можно записать в виде
1Г = Лсг(т)' (15.29)
(По техническим причинам будем предполагать, что Hq является полиномом конечной степени от усредненных многочастичных операторов E/N.)
Гамильтониан МГЛ (15.25) является прототипом гамильто-щанз вида (15.29). Для получения первого как частного случая (15.29) заметим, что при г = 2
?'21=/+, ?’i2 = /_, Tj" (?22 — ¦?,ц)==^3> (15.30)
И положим
V22 = -|-, V'(12) (12) = V-(21) (21) = -5- »
е W
Vn~—-g> ^(12)(2П = (21) (12) = у *
при этом все остальные элементы рассеивания равны нулю.
При г —2 гамильтониан (15.29) имеет вид Ж = Nh.Q(i/N). Если hQ не представим в специальном виде (15.29) как сумма линейного энергетического члена (е/3) и квадратичного члена взаимодействий (/+ + /1, {/+, /_}). то говорят, что Ж является гамильтонианом типа МГЛ.
При г > 2 гамильтониан Ж является расширенной моделью МГЛ, если он представляет собой сумму линейных энергетических членов (etEu) и квадратичных членов взаимодействия
Квантовая механика
15
(?,у + E2jt, {E.jE.^y В противном случае говорят, что он относится к расширенному типу МГЛ (табл. 15.1).
Таблица 15.1. Модели МГЛ и Дикке как прототипы более широких классов модельных гамильтонианов
Одна подсистема Две взаимодействующие
подсистемы
линейные полином линейные полином
и квадратичные без симметрии и билинейные без симметрии
части части
с симметрией с симметрией
г = 2 МГЛ Типа МГЛ Дикке Типа Дикке
SU (2)
г > 2 Расширенная Расширенного расширенная Расширенного
SU (г) МГЛ типа МГЛ Дикке типа Дикке
3.2. Модели типа Дикке
Предположим, что каждый (или каждая) из N одинаковых атомов (или молекул) может находиться в одном из г возможных состояний с энергией ei С ег С ... С ег. Подсистема, состоящая из N одинаковых атомов, может взаимодействовать с другой подсистемой, представляющей собой электромагнитное поле. Предположим для простоты, что с каждой парой уровней взаимодействует одно из возможных состояний поля и что это взаимодействие близко к резонансному, т. е. йю//с=:е/— ы. Если взаимодействия слабые, то главный член гамильтониана может быть записан через бозонные операторы, действующие на число заполнения уровней, и одноч'астичные или многочастичные атом* ные операторы: