Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
180
Глава 20
Т 1х Mj
T'xMl
Рис. 20.15.
Исходя из неустойчивого предельного цикла Г1 X м] н поступая обычным образом, получаем нелокальные предельные множества типа Т1 X МJ (а), Г1 X М* (б) и Г2Х-М1 (а), ни одно из которых не является устойчивым.
Рис. 20.16. Качественный характер потока в окрестности критической точки 2 1
типа F_ X в зависимости от постоянных демпфирования, а — уг > Уг', б—уг « уг в — характер потока в случае неустойчивой критической точки типа FL X М.\ при ш > Yr > Уг-
Уравнения, приводящие к катастрофам
181
динамической системы. В результате получаем, что поверхность T2crR3 структурно устойчива. Разумеется, торы более высокой размерности становятся менее «жесткими», поэтому возможно достижение некоторой размерности п, при которой инвариантный тор Т"'1 с R" уже не будет структурно устойчивым. Такая возможность возникает при п— 1=4.
Итак, мы встретились с новым свойством, присущим некоторым аттракторам динамических систем размерности п ^ 3. Причину этого понять нетрудно. Предельные множества аттракторов являются множествами размерности 0, 1, 2, ..., п—1 и мерой нуль в R". Траектории динамической системы одномерны. Только в случае max(0, 1, ..., п—1) траектория динамической системы может пройти через каждую точку инвариантной поверхности. С увеличением размерности инвариантные поверхности становятся все более «пористыми» по отношению к действительным траекториям.
В семействах трехмерных динамических систем, зависящих от параметров, могут естественным образом возникать определенные буфуркации и изменения. Подобного рода бифуркации для трехмерных динамических систем часто удается получить из соответствующих бифуркаций в основной двумерной динамической системе. Если, например, два собственных значения, связанных с изолированной точкой типа М* или одномерным потоком типа Т1 X Mj, становятся равными, произойдет соответствующее изменение поведения от «радиального» к «спиральному». В этом смысле критическое множество М* «расположено вблизи» потока FlXM\ (г = 0, 1), Мг-вблизи F+XMU (г = 2, 3)
и 71 X Мо — вблизи Sc_ = 7,1XjF-- Бифуркация изолированных критических точек происходит так же, как в случае градиентных систем. Устойчивая спираль Sc_ в результате бифуркации Хопфа дает неустойчивую спираль и устойчивый инвариантный тор
Бифуркация Хопфа -2..,,! /г>Л1П\
Sc_----------------*Sc+ + r X Mo. (20.19)
Нетрудно получить также остальные бифуркации и соответствующие потоки
М? —м\ + 2Мь (20.20)
3. СТРАННЫЕ СТРОИТЕЛЬНЫЕ БЛОКИ
3.1. «Спиральный хаос»
Для выяснения типов качественных изменений поведения трехмерной динамической системы рассмотрим динамическую
182
Глава 20
систему1* типа F+XMo (рис. 20.13,а). Если предположить, что
неустойчивый фокус лежит в притягивающей плоскости (х,у), то вблизи критической точки динамические уравнения, описывающие состояние динамической системы в цилиндрических координатах, можно записать в виде
Для того чтобы поведение этой системы характеризовалось некоторыми интересными особенностями, добавим в правые части уравнений (20.21) слагаемые, влияние которых будет заключаться в том, чтобы вернуть поток из окрестности больших значений г и малых, но отличных от нуля \z\ в окрестность малых г и больших \z\. Сечение такого возвратного потока плоскостью (г, г) показано на рис. 20.17,а. Можно, в частности, выбрать замкнутый поток в плоскости (г, z), 0 = const таким образом, чтобы он был типа релаксационных колебаний (рис. 20 17,6). Тогда соответствующие уравнения динамической системы принимают форму
Описание такого потока оказывается достаточно простым при у 1, со у-1- Из произвольного начального положения А состояние системы быстро приближается к поверхности вращения r = F(z), затем приводится в быстрое вращение вокруг оси z и одновременно медленно по спирали приближается к точке срыва С. Далее состояние системы скачком переходит на нижний лист указанной поверхности вращения в точку D и медленно по спирали приближается к ее краю Е, откуда скачком переходит на верхний лист в точку В, после чего процесс повторяется. Качественная природа скачкообразных переходов С -*• D и Е -*¦ В зависит от отношения у/а: если оно велико, состояние системы скачком переходит с одного из листов в точку, расположенную почти под ним или над ним, без существенного вращения вокруг оси z (линейный спуск или подъем); если у/со <С 1, то состояние системы часто оказывается вовлеченным
') Модельные динамические системы могут не иметь никакой непосредственной связи с реальной действительностью, тем не менее их изучение является первой отважной попыткой приоткрыть ящик Пандоры, содержащий странное поведение динамических систем более чем двух измерений.
(20.21)
dz
z — y(r — F (z)), f = — Y-1(z — z„),
(20.22)
0 = CO.
Уравнения, приводящие к катастрофам