Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 68

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 109 >> Следующая

180

Глава 20

Т 1х Mj

T'xMl

Рис. 20.15.

Исходя из неустойчивого предельного цикла Г1 X м] н поступая обычным образом, получаем нелокальные предельные множества типа Т1 X МJ (а), Г1 X М* (б) и Г2Х-М1 (а), ни одно из которых не является устойчивым.

Рис. 20.16. Качественный характер потока в окрестности критической точки 2 1

типа F_ X в зависимости от постоянных демпфирования, а — уг > Уг', б—уг « уг в — характер потока в случае неустойчивой критической точки типа FL X М.\ при ш > Yr > Уг-
Уравнения, приводящие к катастрофам

181

динамической системы. В результате получаем, что поверхность T2crR3 структурно устойчива. Разумеется, торы более высокой размерности становятся менее «жесткими», поэтому возможно достижение некоторой размерности п, при которой инвариантный тор Т"'1 с R" уже не будет структурно устойчивым. Такая возможность возникает при п— 1=4.

Итак, мы встретились с новым свойством, присущим некоторым аттракторам динамических систем размерности п ^ 3. Причину этого понять нетрудно. Предельные множества аттракторов являются множествами размерности 0, 1, 2, ..., п—1 и мерой нуль в R". Траектории динамической системы одномерны. Только в случае max(0, 1, ..., п—1) траектория динамической системы может пройти через каждую точку инвариантной поверхности. С увеличением размерности инвариантные поверхности становятся все более «пористыми» по отношению к действительным траекториям.

В семействах трехмерных динамических систем, зависящих от параметров, могут естественным образом возникать определенные буфуркации и изменения. Подобного рода бифуркации для трехмерных динамических систем часто удается получить из соответствующих бифуркаций в основной двумерной динамической системе. Если, например, два собственных значения, связанных с изолированной точкой типа М* или одномерным потоком типа Т1 X Mj, становятся равными, произойдет соответствующее изменение поведения от «радиального» к «спиральному». В этом смысле критическое множество М* «расположено вблизи» потока FlXM\ (г = 0, 1), Мг-вблизи F+XMU (г = 2, 3)

и 71 X Мо — вблизи Sc_ = 7,1XjF-- Бифуркация изолированных критических точек происходит так же, как в случае градиентных систем. Устойчивая спираль Sc_ в результате бифуркации Хопфа дает неустойчивую спираль и устойчивый инвариантный тор

Бифуркация Хопфа -2..,,! /г>Л1П\

Sc_----------------*Sc+ + r X Mo. (20.19)

Нетрудно получить также остальные бифуркации и соответствующие потоки

М? —м\ + 2Мь (20.20)

3. СТРАННЫЕ СТРОИТЕЛЬНЫЕ БЛОКИ

3.1. «Спиральный хаос»

Для выяснения типов качественных изменений поведения трехмерной динамической системы рассмотрим динамическую
182

Глава 20

систему1* типа F+XMo (рис. 20.13,а). Если предположить, что

неустойчивый фокус лежит в притягивающей плоскости (х,у), то вблизи критической точки динамические уравнения, описывающие состояние динамической системы в цилиндрических координатах, можно записать в виде

Для того чтобы поведение этой системы характеризовалось некоторыми интересными особенностями, добавим в правые части уравнений (20.21) слагаемые, влияние которых будет заключаться в том, чтобы вернуть поток из окрестности больших значений г и малых, но отличных от нуля \z\ в окрестность малых г и больших \z\. Сечение такого возвратного потока плоскостью (г, г) показано на рис. 20.17,а. Можно, в частности, выбрать замкнутый поток в плоскости (г, z), 0 = const таким образом, чтобы он был типа релаксационных колебаний (рис. 20 17,6). Тогда соответствующие уравнения динамической системы принимают форму

Описание такого потока оказывается достаточно простым при у 1, со у-1- Из произвольного начального положения А состояние системы быстро приближается к поверхности вращения r = F(z), затем приводится в быстрое вращение вокруг оси z и одновременно медленно по спирали приближается к точке срыва С. Далее состояние системы скачком переходит на нижний лист указанной поверхности вращения в точку D и медленно по спирали приближается к ее краю Е, откуда скачком переходит на верхний лист в точку В, после чего процесс повторяется. Качественная природа скачкообразных переходов С -*• D и Е -*¦ В зависит от отношения у/а: если оно велико, состояние системы скачком переходит с одного из листов в точку, расположенную почти под ним или над ним, без существенного вращения вокруг оси z (линейный спуск или подъем); если у/со <С 1, то состояние системы часто оказывается вовлеченным

') Модельные динамические системы могут не иметь никакой непосредственной связи с реальной действительностью, тем не менее их изучение является первой отважной попыткой приоткрыть ящик Пандоры, содержащий странное поведение динамических систем более чем двух измерений.

(20.21)

dz

z — y(r — F (z)), f = — Y-1(z — z„),

(20.22)

0 = CO.
Уравнения, приводящие к катастрофам
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed