Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
176
Глава 20
17
/*
17
/
ir
А /т’хм*
Рис. 20.11.
Исходя из неустойчивости критической точки Мj и поступая обычным образом, получаем изолированные критические точки М2 (а), М3 (б) и неустойчивый предельный цикл
¦т1 X м] (в).
Аналогичным образом можно рассмотреть устойчивые и неустойчивые предельные циклы. Спектр структур, получающихся из неустойчивого предельного цикла Т1 X Мо, показан на рис. 20.14, а из цикла на рис. 20.15. Предельные
циклы j'XMiCEER3, i = 0, 1, 2, были получены ранее. Новыми структурами являются устойчивый СТ2 X М о) и неустойчивый (Г2ХМ!) торы.
Описание динамических систем, идеализированные потоки для которых представлены на рис. 20.9—20.15, можно легко получить в случае трех существенно различных временных масштабов. Рассмотрим, например, поток F2- X Мо, для которого скорость вращения о вокруг оси z намного превышает радиальную составляющую релаксационной скорости уг или ее составляющую уг по оси г. Если уг^уг, то поток напоминает смерч
Уравнения, приводящие к катастрофам
177
/^7
F-
Sc.=FlxT1 Рис. 20.12. 2
Исходя из устойчивого фокуса f— и поступая обычным образом, получаем устойчивые и неустойчивые потоки типа fL X Mq X Afj (б) вблизи изолированных критиче*
ских точек и устойчивую предельную спираль F_ XT1 — Sc_ (в).
(рис. 20.16,а); если же уг уг, то поток как бы располагается
на поверхности параболоида (рис. 20.16,6). Предположим, что 2 1
для потока типа F-X-Mi временной масштаб вращательного движения намного больше, чем радиального, который в свою очередь значительно превышает временной масштаб движения по оси г. Тогда состояние системы будет изменяться почти по круговой траектории вокруг фокуса, причем радиус орбиты будет уменьшаться, а движение будет происходить все время вблизи плоскости 2 = 0. Когда радиус траектории станет очень малым, то в результате отталкивания состояние системы будет изменяться вдоль оси z в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, где происходило движение — выше или ниже плоскости 2 = 0, причем положение системы в плоскости 2 = 0 является неустойчивым (рис. 20.16,в). Предельное винтовое движение также может быть легко описано в случае трех различных временных масштабов.
Аттрактор, представленный устойчивым тором, несколько отличен от других притягивающих множеств. Множество предель-
178
Глава 20
i---F?*Mo
Рис. 20.13.
Исходя из неустойчивого фокуса F2^. и поступая обычным образом, получаем неустойчивые потоки X AlJ (a), Fj. X М j (б) вблизи изолированной критической точки и неустойчивую предельную спираль X r1=Sc.j_ (в).
ных точек, связанных со всеми остальными устойчивыми потоками, образует нульмерные или одномерные множества. Система, первоначально находившаяся в изолированной критической точке, останется в этой точке; система, первоначально находившаяся в одномерном предельном множестве, будет блуждать вокруг этого предельного множества, проходя через каждую его точку. Однако все это перестает быть справедливым для предельных торов. Эти множества двумерны. Динамическая система, первоначально находившаяся в точке, принадлежащей устойчивому или неустойчивому тору, будет оставаться на двумерном торе, однако не будет проходить через все точки тора. Грубо говоря, динамическая система будет пересекать принадлежащее тору множество меры нуль или единица в зависимости от того, рациональным или иррациональным числом выражается отношение скоростей вращения в обоих направлениях.
Теперь выясним, почему предельный цикл в пространстве R3 неустойчив к возмущениям. Предположим, что предельный цикл
Уравнения, приводящие к катастрофам
179
У
,ТгхМ10
Рис. 20.14.
Исходя из устойчивого предельного цикла Т1 X и поступая обычным образом, по* лучаем потоки: Г1 X М* — устойчивый (а), Т1 X —неустойчивый (б) н Т2 X М* — устойчивый (в). Ни одно из соответствующих критических множеств не является критической точкой.
«наматывается» на устойчивый тор Т2у.Мо с рациональными частотами ©i, о>2 (пусть для определенности ©i = 1, 0)2 = 1). При действии возмущения о>] = 1, щ-* а>2 = л/3 возмущенная траектория никогда не замкнется на себя. Следовательно, предельные циклы структурно устойчивы к возмущениям в IRrt, п^2, возникающим на инвариантном торе Тк при k—l, и структурно неустойчивы к возмущениям, возникающим на инвариантном торе Tk при 1 < k ^ п— 1.
ООО Возникает вопрос: является ли сама инвариантная поверхность Т2 структурно устойчивой? Эта поверхность называется инвариантной потому, что любая ее точка будет отображаться в другую точку этой же поверхности в силу уравнений движения
