Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
172
Глава 20
Рис. 20.7. Кривая z — F(x) = 0 как поперечное сечение сборки.
Две внешние ветви устойчивы, одна внутренняя неустойчива. К этому аттрактору приближаются все потоки, в какой бы точке А, А', А", . . . они нн начинались, которые затем совершают циклические движения по траектории EBCDE, представляя релаксационные колебания в режиме быстро — медленно—быстро — медленно.
риодическим траекториям. Такая замкнутая траектория называется релаксационным колебанием. Соответствующие масштабы времени имеют порядок 1 /у для быстрых скачков и порядок
Y для медленных перемещений. В результате период колебания определяется следующим приближенным выражением:
т 2 S' -^ \“ fJr-- 2v \‘ (3*+т) ^ =
= v{3(4-4) + 2olni}. (20.17)
В случае осциллятора Ван-дер-Поля релаксационные колебания возникают в режиме множественных состояний, т. е. при а < 0.
При а < 0, = д/— а/3, xE = 2\/—а/3,
71 ~ | уа | (3 — 21п 2) ~ 1,61 уа |, а < 0. (20.18)
ООО В качестве структурно устойчивого возмущения гармонического осциллятора был (осциллятор Ван-дер-Поля) — F(x; а) —
— хъ + ах. Смена устойчивости происходит в критической точке (а:, у) = (0, 0) при уменьшении параметра а с прохождением через нулевое значение. Со сменой устойчивости связана бифуркация Хопфа. От решения (jc, у) = (0, 0) ответвляется новый круговой (при малых а) аттрактор. При дальнейшем уменьше-
Уравнения, приводящие к катастрофам
173
Рис. 20.8.
Структурно устойчивые предельные циклы могут быть разрушены двумя способами. а — радиус предельного цикла может быть стянут к нулю, в результате чего он исчезает при бифуркации Хопфа; б — он может столкнуться и взаимно уничтожиться с другим предельным циклом, обладающим противоположным типом устойчивости и тем же направлением потока; оба предельных цикла затем исчезают в процессе, который по существу, является возникновением катастрофы складки.
нии параметра а предельный цикл сдавливается и его форма искажается. В предельном случае (Ivl^l) этот предельный цикл принимает форму релаксационных колебаний.
ООО По отношению к возмущениям предельные циклы структурно устойчивы. При возмущении системы с изолированным предельным циклом новая система будет иметь изолированный предельный цикл вблизи исходного изолированного предельного цикла. Разрушить предельный цикл в 1-параметрическом семействе двумерных динамических систем можно, либо «сжимая» его и «превращая» во внутренний фокус (рис. 20.8,а), либо заставив его столкнуться и аннигилировать с другим предельным циклом (рис. 20.8,6). Последний случай легко отождествить с катастрофой складки Л2, если рассмотреть поперечное сечение потока, огибающего предельные циклы. Предельные циклы в R", п> 2 не являются структурно устойчивыми, если они возникают на торах Tk, k > 1.
ООО Бифуркацию Хопфа и релаксационные колебания осциллятора Ван-дер-Поля мы отождествили с ограниченной по симметрии катастрофой сборки. Функции F(x), связанные с ограниченными по симметрии катастрофами Л* (20.6) более высокого
174
Глава 20
порядка, можно использовать для построения динамических систем, в которых наблюдаются более интересные явления. Для таких более сложных систем справедливы рассуждения, приведенные в последних двух разделах.
ООО Сложные динамические системы поддаются анализу, когда их структуре присущи ощутимо различные временные масштабы.
2. ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ. 2
Рассмотренный принцип построения оказался полезным при конструировании двумерных критических точек и потоков по данным о более простых одномерных критических точках и может быть развит для решения задач построения картины трехмерного критического поведения на основании перечня двумерных критических структур. Такое развитие метода можно осуществить при помощи процедуры, показанной на рис. 20.2. На рис. 20.9 к устойчивой изолированной морсовской критической
Рис. 20.9.
Путем добавления члена вида +zs, — г1, г к устойчивой морсовской критической точке М0 получаются изолированные критические точки М® (о), (б) н устойчивый предельный
цикл г' х Л12 (а).
Уравнения, приводящие к катастрофам
175
/
'М.
Рис. 20.10.
Исходя из морсовского седла М* и поступая обычным образом (см. рис. 20.9), получаем изолированные критические точки Мъ. (а), м\ (б) и неустойчивый предельный цикл
Г1 х м2, (в).
точке Мо добавлены члены вида -f-г2, —г2, z. Полученная в результате картина критического поведения включает изолированный морсовский минимум Мо, изолированное морсовское 1-седло М\ и замыкающий поток на себя устойчивый предельный цикл г’ХМо. Это построение повторено на рис. 20.10 и 20.11.
Картина структурно устойчивого двумерного потока может быть вновь расширена путем добавления членов -j-z2, —z2, z (рис. 20.12 и.20.13). В построении, показанном на рис. 20.12, мы
начинаем с устойчивого двумерного фокуса F2- и строим соот-
2 1
ветственно устойчивый фокус F- X М0, неустойчивый фокус F2- ХМ* и, замыкая поток на себя через фокус, устойчивую предельную спираль Sc_—F2- Х^'- В построении, показанном на рис. 20.13, мы начинаем с неустойчивого двумерного фокуса F\ и строим F2+XMo, f+X-Mi, F2+XT\
