Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения, приводящие к катастрофам
167
1.1. Осциллятор Ван-дер-Поля
Бифуркация Хопфа
Некоторые из описанных типовых особенностей критического поведения автономных динамических систем присущи простому гармоническому осциллятору. Такой осциллятор
mx-\-kx = 0 (20.2)
и его возмущения можно рассматривать как своеобразную «проблему атома водорода» в теории динамических задач (т. е. проблему, достаточно простую для решения и вместе с тем достаточно сложную, чтобы использовать результат). Уравнение гармонического осциллятора (20.2) можно записать в стандартной, характерной для динамической системы форме в виде двух связных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
= P (m=l),
4L-_ (20‘3)
dt х ( !)•
Решения системы (20.3) имеют вид х = R sin (со/ + <j>), р = = R cos (со/ + Ф), © = д/kjm. Поскольку эти траектории соответствуют вихрю (рис. 19.17), система (20.3) структурно неустойчива.
ООО Уравнения гармонического осциллятора (20.3) можно получить из гамильтониана. Любой не зависящий от времени гамильтониан консервативен и структурно неустойчив по отношению к возмущениям диссипативного типа. Поэтому в классической механике использование соображений о структурной устойчивости возможно лишь после весьма осторожного отбора класса систем и типа возмущений, подлежащих анализу.
Структурно устойчивое линейное возмущение гармонического осциллятора (20.2) есть не что иное, как гармонический осциллятор с затуханием:
х + Y-* + х = 0- (20.4а)
Это уравнение может быть записано в стандартной, характерной для динамической системы форме (р-*-у):
dx
¦У-ух,
dt
dy
dt
(20.46)
Уравнение (20.4) имеет решения вида х ~ ем, причем собственное значение X удовлетворяет уравнению
Я2 + \Я + 1=0. (20.5)
168
Глава 20
-Z
О
+ 2
_l_____________
fSM Устойчивый узел
Устойчивый фокус
Равные собственные значения
о
Ft Центр
г? Равные М?
nnfinmfipu- О
соВогпвен-ные значения
Рис. 20.5.
Пространство управляющих параметров в случае гармонического осциллятора с затуханием (20.4) делится на четыре открытые области тремя точками, две из которых (V = ±2) принадлежат максвелловскому м и одна — бифуркационному множеству. Эти четыре открытые области параметризуют структурно устойчивые гармонические осцилляторы.
Если рассматривать v как управляющий параметр, то одномерное пространство R1 управляющих параметров будет разделено на четыре несоприкасающиеся открытые области, в которых структурно устойчивое поведение системы представлено двумя точками v== ±2 в максвелловском множестве 9м и точкой у = = 0 в множестве бифуркаций 9в- Такое разделение наряду с примерами структурно устойчивого и структурно неустойчивого динамического поведения показано на рис. 20.5.
Гармонический осциллятор (20.2) обладает также рядом физически интересных нелинейных возмущений, которые структурно устойчивы. Один класс таких возмущений имеет вид
Введем следующие допущения:
1. (d/dt)F(x) =f(*)i;
2. f(—x) =+f(x) и F(—x) = —F(x);
3. Функции f(x) и F(x) гладкие и дифференцируемые;
4. Функция f (x) конечна на конечном интервале оси х;
5. у ^ 0.
Постоянная у определяет интенсивность демпфирования. Осциллятор Ван-дер-Поля можно получить, полагая F(x) = х3 + + ах; f (x) = Зх2 + а (20.6). Это структурно устойчивое возмущение гармонического осциллятора можно исследовать методами теории катастроф, при условии что величина v либо очень мала, либо очень велика.
или
х + yf (х) х + х = 0 x = y — yF (х), у = — х.
(20.6а)
(20.66)
Уравнения, приводящие к катастрофам
169
Заметим, что F(0)= 0 в силу допущений 2 и 3. Следовательно, (х, у) = (0, 0) является решением системы (20.66) при всех значениях у. Свойства устойчивости этого решения определяются величиной v/(0), как показано на рис. 20.5. Если f зависит от одного или нескольких управляющих параметров, то при yf(0; а\, ...) =±2 соответствующая система описывается точкой множества Максвелла Ум, а при yf(0\ai, ...)=0 локальное равновесие при (х,у) = (0,0) является центром. Таким образом, следует ожидать наличия буфуркации Хопфа, связанной с этим структурно неустойчивым поведением. Определим в явной форме поведение, соответствующее предельному циклу при малых у, и буфуркацию Хопфа в случае f(x) = Зх2 + а.
Свойства динамической системы (20.66) можно установить при помощи метода фазовых портретов (гл. 19). Нас особенно будет интересовать определение аттракторов (20.6), роль которых могут выполнять изолированные точки или замкнутые ус-
имеет лишь одну изолированную критическую точку, а именно (х, у) — (0, 0). Если эта точка представляет собой устойчивый фокус, окруженный предельным циклом, то последний должен быть неустойчивым. Аналогично, если имеется устойчивый предельный цикл, то заключенный в нем фокус неустойчив (рис. 20.4). Форма устойчивого предельного цикла может быть определена интегрированием уравнений динамической системы
