Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вводится теорема о центральном многообразии, представляющая собой аналог леммы Тома о расщеплении (2.3) для динамической системы. В теории динамических систем она позволяет ввести существенные упрощения; в частности, благодаря этой теореме перечисление неприводимых потоков превращается просто в полезное упражнение.
В заключение анализируется картина Рюэля — Тейкенса возникновения турбулентности в нелинейных системах общего типа. Эта картина основана на теореме о центральном многообразии, наборе инвариантных потоков, бифуркации Хопфа, а также на идеях, связанных с наличием или потерей динамической и структурной устойчивости.
1. ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ. 1
Одномерная динамическая система x = f(x), не зависящая от параметров управления, как правило, имеет только изолированные критические точки, в которых f(x) =0. Кроме того, в этих точках обычно f'(x) Ф 0. Таким образом, одномерная динамическая система содержит критические точки (центры) двух видов — притягивающие и отталкивающие:
A y
2j- = kx, /гфО. (20.1)
Для притягивающего центра k <; 0, для отталкивающего k > 0 (рис. 20.1).
6*
164
Глава 20
Vf1 М1.
О 1
Рнс. 20.1. В одномерной динамической системе изолированная критическая точка может быть либо притягивающей (Л|’), либо отталкивающей (м[).
Аттрактор устайчидого предельного цикла
т1* I*q
Рис. 20.2.
В случае устойчивого одномерного аттрактора (V » 4-х2) добавление составляющей по-toKa в направлении у в форме (+уг, — у2, у) приводит к возникновению критических точек типа М® и М*, а также критического потока типа Т[ X Mj после того, как поток замкнется на себя.
В связи с этим возникает вопрос: какого типа критические точки можно ожидать в двумерных динамических системах и каково будет их критическое поведение? Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем за основу критические точки для одномерной динамической системы. Для этого (рис. 20.2) выберем морсов-ское нулевое седло +х2 в К’(/ — —W) (рис. 20.2) и «сложим» его либо с морсовским нулевым седлом +у2, либо с морсовским 1-седлом —у2. Получающаяся в результате изолированная кри-
Уравнения, приводящие к катастрофам
165
Т !х М ’ Отталкивающее
1 множество неустойчивого
предельного цикла
Рис. 20.3.
В случае неустойчивой одномерной критической точки (V» -х2) добавление составляющей потока в направлении у в форме (+У2, — У2, у) приводит к возникновению критических точек типа и Ма также критического потока типа Г1 X Mj после того, как поток замкнется на себя.
2
тическая точка представляет собой морсовское нулевое седло Мй или морсовское 1-седло М\ (рис. 20.2,а,б). Вместе с тем поток можно наложить так, как показано на рис. 20.2, б. В этом случае критическая точка уже не будет изолированной, Однако если замкнуть поток на себя (рис. 20.2,в), то соответствующее критическое поведение будет отвечать случаю устойчивого «кругового» движения. Такая критическая траектория (уже не точка!) называется устойчивым предельным циклом и обозначается как
r'XAfo.
Следуя вышеописанному пути, можно построить двумерные критические точки и потоки, исходя из неустойчивой критической точки М.\. Складывая устойчивый член (+г/2), неустойчивый член (—у2) и ненулевой поток (— г/), получаем морсовское
166
Глава 20
/
Рис. 20.4.
При стягивании радиуса устойчивого или неустойчивого предельного цикла располо* женный внутри фокус (неустойчивый нли устойчивый) прекращает свое существование. Поток при г->О соответствует устойчивому или неустойчивому фокусу.
1-седло Af? (рис. 20.3,а), морсовское 2-седло Ml (рис. 20.3,6) и неустойчивый предельный цикл Тх ХМ* (рис. 20.3, в).
Однако данный метод «зашнуровывания» не позволяет проследить все структурно устойчивые типы критического поведения, которые могут существовать в случае двумерной динамической системы, поскольку были пропущены фокусы. Один из возможных методов, позволяющих установить присутствие фокусов среди структурно устойчивых типов критических точек, состоит в том, чтобы устремить радиус предельного цикла к нулю (рис. 20.4). В пределе при г-> 0 поток вокруг устойчивого предельного цикла Т1 Х.Мо напоминает поток в случае устойчивого фокуса F-'y вокруг неустойчивого предельного цикла Tl XMi он напоминает поток в случае неустойчивого фокуса F+. Такой метод сжимания цикла эквивалентен буфуркации Хопфа.
Изолированные морсовские седла Afo, Ми М\, фокусы F-,
F2+ и предельные циклы Т[ ХМо, Tl XMi являются единственно возможными типами структурно устойчивого критического поведения двумерных динамических систем.
ООО Фокусы F2± первоначально были пропущены по следующей причине. Мы начали с критических точек в одном измерении при ненулевом собственном значении. Налагая поток во втором измерении, мы ввели форму у = const или у = ky, где k — ненулевая постоянная. Для определения комплексно сопряженных собственных значений необходимо было бы увеличить размерность новых потоков на два, а не на единицу.
