Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Автономные динамические системы
161
семейств n-мерных динамических систем могут обладать вырожденными критическими точками типа «седло — узел» или типа <.центр» структурно устойчивым образом. Далее в /г-мер-ной системе можно выбрать координатную систему х\ = х, =
— у, хз, ..., хп, такую, что в окрестности критической точки все интересные явления происходят в направлении х—у.
РЗЗД' 4_6)’
dx.
== i = 3, 4, ..,, я.
6. ВЫВОДЫ
Автономные динамические системы сложнее градиентных динамических систем и потому имеют более сложную структуру. Они сводятся к градиентным в том случае, когда (rotF),/ = = dFj/dxi — dFi/dxj — F/i — Fu = 0. В критической точке динамическая система локально эквивалентна градиентной, если она имеет различные действительные собственные значения.
Для изучения автономных динамических систем пригодны многие положения и методы, разработанные для анализа градиентных систем. Критическими точками автономных динамических систем являются точки х° е R", в которых вынуждающая сила F равна нулю. В критических точках возможно вырождение. Вырождение связано с бифуркациями, и от него можно избавиться морсификацией. Для глобального описания двумерных динамических систем особенно удобным оказывается метод фазового портрета.
Динамические и структурные свойства устойчивости динамической системы определяются собственными значениями матрицы устойчивости Fa в критической точке. Матрицы Fij параметризуются точками пространства Rrt. Сепаратриса точек пространств R", описывающих структурно неустойчивые системы, определяется из условия SaSb — 0, где Sa и 5ь выражаются через собственные значения Я, матрицы Fa (19.12). Компоненты сепаратрисы, определяемые из условий Sa = 0, Sb Ф 0, описывают структурно неустойчивые системы с изолированными критическими точками, а компоненты сепаратрисы, определяемые условием Sb = 0, описывают вырожденные критические точки и определяют бифуркационное множество. Были рассмотрены трехмерные компоненты сепаратрисы в R4 для двумерных динамических систем, а также /г-мерный случай.
Был проведен анализ возмущения вокруг компонент сепаратрисы, определяемых условиями Sa = 0, Sb Ф 0. Такие воз-
6 Зак. 811
162
Глава 19
мущения качественно влияют на свойства критической точки, но при этом число критических точек остается прежним.
Трехмерные компоненты бифуркационного множества в R4 описывают вырожденные критические точки двух различных типов; изучались дважды вырожденная критическая точка типа «седло — узел» и ее деформации.
Мы встретились с новым типом динамически неустойчивого поведения — вихрем, или центром. Возмущения центров приводят к описаниям суб- и суперкритических бифуркаций Хопфа. Бифуркации Хопфа в двумерных динамических системах с одним или более управляющими параметрами тесно связаны с симметрическими катастрофами типа А+^к+ху
В 1-параметрических семействах двумерных динамических систем структурно устойчивым образом могут встретиться только седло-узлы и точки бифуркации Хопфа.
Общую программу исследования свойств автономных динамических систем в духе представлений и методов элементарной теории катастроф можно сформулировать следующим образом:
— определить бифуркационное множество в Rrt , связанное с матрицей устойчивости Fa (19.126);
— построить наиболее общую деформацию для динамических систем, описывающихся точками каждой компоненты определенного бифуркационного множества;
— определить геометрические свойства каждой построенной деформации.
Эта программа выходит за рамки настоящей книги.
ООО Английский перевод статьи [1] можно найти в работе [2]. Качественная топологическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений изложена в работе [3].
Литература
1. Hopf Е. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren eines Differentialsystems, Ber. Math.-Phys. Kl- der Sack. Akad. der Wiss. zu Leipzig, 94 (19 Januar 1942).
2. Marsden J. E, McCracken M. The Hopf bifurcation and its applications, New York: Springer, 1976. [Имеется перевод: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.]
3. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1975.
20
УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К КАТАСТРОФАМ
В настоящей главе проводится более глубокое изучение автономных динамических систем с целью выявления набора «неприводимых потоков», которые могут возникнуть в n-мерной динамической системе. Если все такие потоки установлены, то, помещая их в разные области пространства фазовых координат, можно моделировать поведение я-мерной динамической системы. Такой прием аналогичен размещению морсовских седел /И" в разных точках в пространстве R" для описания произвольной n-мерной морсов-ской функции.
Приводятся методы описания и построения динамических потоков и инвариантных поверхностей и анализируется построение двумерных потоков и предельных циклов из одномерных потоков, а также двумерных потоков — предельных циклов и трехмерных потоков и инвариантных поверхностей из двумерных структур. Простые комбинации некоторых из строительных блоков подобного типа позволяют составить описание поведения странных динамических систем. Так, поток, впервые подробно изученный Лоренцем, может быть применен для анализа нелинейных систем в гидродинамике и электродинамике.
