Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
[ Ц ]=[ ас („,+щ) -2с ] [ Ту ]для <*¦=(0- -;2с>,
^1У ,о? )
Эта изолированная критическая точка является устойчивым узлом (—, —) при с > 0 и седлом (—, +) при с < 0. Ее сигнатуры показаны на рис. 19.14 (Ь = 0). Из рис. 19.14 следует, что если b = 0, то при прохождении с через нуль имеет место обмен устойчивостью между этими двумя критическими точками в тот момент, когда они «проходят одно сквозь другое».
Аналогично можно определить свойства динамической устойчивости изолированных критических точек в случаях КО и b > 0. Однако в этом нет необходимости, поскольку достаточно понять, что указанные три множества кривых, показанные на рис. 19.14, представляют собой сечения (b = const) двумерной поверхности (19.29), изображенной на рис. 19.15. В точках с вертикальной касательной на этой поверхности происходит обмен устойчивостью между критическими точками. Поэтому достаточно определить тип устойчивости хотя бы одной точки на верхнем или нижнем листах этой сложной поверхности. Последнее уже было выполнено в (19.31) и (19.32). Следовательно, все критические точки (хс, ус) = (0, ус) при ус, лежащем на нижнем
156
Глава 19
Рис 19.16. Морсификация дважды вырожденной критической точки динамической системы (в центре) может привести либо к двум изолированным критическим точкам (слева), либо к исчезновению всех критических точек (справа).
Эта система аналогична катастрофе складки для градиентных систем.
листе, являются устойчивыми узлами, а при ус, лежащем на верхнем листе, — седлами.
<000 Рис. 19.14 можно «интерпретировать» в терминах фейн-мановской диаграммы рассеяния частиц:
— при b < 0 происходит «мягкое» соударение двух «частиц» во «времени» с. Частицами являются критические точки, а соударение мягкое, поскольку происходит под малым углом;
:— при Ь = О имеет место «обмен зарядами», соответствующий обмену устойчивостью;
— при b > О происходит жесткое рассеяние, которое можно рассматривать как взаимное уничтожение пары частиц с последующим рождением новой пары.
В ^-параметрическом семействе двумерной динамической системы вырожденная критическая точка типа седло — узел может встретиться при структурно устойчивом режиме, если k ^ 1. Морсификация такой дважды (т. е. кратности 2) вырожденной критической точки приводит к динамической системе, в которой либо нет критических точек, либо есть две изолированные критические точки вблизи начала координат (рис. 19.16). Такая морсификация аналогична катастрофе складки для градиентных систем. При k~^2 эту вырожденную критическую точку можно морсифицировать по пути в пространстве управляющих параметров b — с при Ь = 0. Такой путь, приводящий к обмену устойчивостью, невозможно построить структурно устойчивым образом для динамических систем с k <; 2.
5. БИФУРКАЦИЯ ХОПФА [/]
В окрестности бифуркационного множества в пространстве К4, определяемого соотношением (19.17), уравнения движения в соответствующей системе координат можно записать в виде
Я —(?>' 1Г X
Автономные динамические системы
157
у
У
О)>0
О)'<0
Рис. 19.17. Структурно неустойчивые портреты динамической системы с двумя чисто мнимыми собственными значениями.
На самом бифуркационном множестве X = 0 и а' ф 0, если число управляющих параметров не превышает единицу. Фазовый портрет для случая Я = 0 показан на рис. 19.17. Фазовые портреты таких структурно и динамически неустойчивых систем называются центрами или вихрями.
Деформации центров удобно рассматривать в полярной системе координат. Тогда уравнения движения будут иметь вид
На бифуркационном множестве % — 0, и при прохождении к через нуль происходит изменение динамической устойчивости. Как и в предыдущем случае, можно ожидать, что изменение динамической устойчивости сопровождается появлением качественно новых типов решений. (И в этих ожиданиях мы не обманываемся.)
Как обычно, появление новых решений можно определить, анализируя деформацию вырожденной динамической системы. Для этого запишем:
¦4т- = fr (гу 0) = Яг + Члены более высокой степени,
~[f — /е (г> 6) = + Члены более высокой степени.
На бифуркационном множестве первые члены разложения /е(г, 0) в ряд Тейлора отличны от нуля; поэтому можно ожидать, что члены более высокой степени несущественны, и ими можно пренебречь.
В первом приближении можно ограничиться только деформациями, инвариантными относительно вращения:
(19.34)
dt
dQ
(19.35)
fr (г, 0) — fr (r)‘
(19.36)
15Й
Глава 19
Отметим, что в действительности вблизи начала координат всегда можно выбрать такую координатную систему (г, 0), в которой любая гладкая деформация будет иметь такой вид. Далее, радиальная функция />(г) может включать’ только члены с нечетными степенями г, поскольку из инвариантности относительно вращения следует, что замена х->-------х, дает