Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
(15.19)
Классический
Jппепел
(15.20)
N
должить и для случая бозонных операторов a$aj/N, а\1л/ы, aJ'y/N.B пределе при N->¦ оо эти усредненные операторы коммутируют, поскольку
Квантовая механика
11
Поэтому вполне естественно ожидать, что классические пределы существуют. Непосредственной проверкой из соотношений
EtijN ~ a\a}jN
4 4 (15.22)
z\zi (4/V^)(a,/V^)
получаем классический предел aj/-yjN=Zj и т. д.
ООО Классический предел усредненного многочастичного оператора Ец/N есть математическое ожидание этого оператора для
N
состояния | W) = п | i|)a), являющегося прямым произведением
а = 1
состояний |^а), каждое из которых имеет вид (15.17). Классический предел усредненного бозонного оператора а/л/N есть его среднее для состояния
| цгь) = е~NI » № Й I k), (15.23)
k =0
где множитель e~JVl^2/2 включен из соображений нормировки. В результате имеем
^L-+(4'\-^-\4')=z'zj, (15.24а)
(15.246)
Из условия нормировки ('F j Ч1-) = 1 вытекает, что 2/ должно удовлетворять равенству (15.18). На комплексный параметр [i подобного условия не налагается.
ООО Поскольку средние операторов Ец/N, aJ^N и т. д. описывают состояние системы, комплексные переменные 2;, |ju будем называть переменными состояния.
ООО Именно такая замена усредненных многочастичных операторов Ец/N и усредненных бозонных операторов а/л]Ы с-чис-лами и является ключевым шагом, позволяющим использовать мощный аппарат теории катастроф для решения сложных задач квантовой механики.
ООО Следует иметь в виду, что классический предел (15.24а) для усредненных многочастичных операторов справедлив для полностью симметричных представлений унитарных групп, и для таких представлений это можно показать строго. Справедливость предельного перехода (15.246) для бозонных операторов строго доказать нельзя, однако он остается справедливым для всех случаев, изучаемых в данной главе.
12
Глава 15
3. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ
ГАМИЛЬТОНИАНЫ
Мешков, Глик и Липкин (МГЛ) (см. [3]) предложили и исследовали модель ядерных взаимодействий в виде гамильтониана, построенного из псевдоспиновых операторов J, обладающих свойствами, аналогичными свойствам обычных операторов углового момента. Предложенная ими модель имеет вид
=°h + -W (/2+ + /2-) + Ж (V- + '-'+)¦ <15-25)
При построении этой модели предполагалось, что каждый из N одинаковых нуклонов в ядре может пребывать в одном из двух возможных состояний, разность энергий которых составляет е. Параметры V и W описывают силы квадрупольного взаимодействия. Множитель 1 /N включен в члены, описывающие взаимодействия, по термодинамическим соображениям [4, 5]. Предполагается, что все нуклоны участвуют в одинаковых взаимодействиях. Операторы /3, J+ являются (2/ -|- 1)Х(2/ + 1)-матрицами угловых моментов.
Модельный гамильтониан
N N
= ЫаУа + ? eY°fa) + -T^-E fl+(T<a> + aat)> <15-26)
a = l a=l
описывающий взаимодействие между одномодальным радиационным полем с энергией ha и системой N одинаковых двухуровневых атомов, был предложен и исследован Дикке [6]. Разность энергий основного и возбужденного энергетических уровней составляет е, а сила взаимодействия, описываемая параметром К, по существу, представляет собой дипольный матричный элемент. Множитель N~l/2 включен из термодинамических соображений. Предполагается, что все атомы испытывают одинаковые взаимодействия. Операторы стг, ст* являются (2X2)-спиновыми матрицами Паули.
Между этими двумя гамильтонианами больше общего, чем кажется на первый взгляд. Прежде всего, каждый из них является прототипом очень широкого класса многочастичных гамильтонианов. Кроме того, оба обладают очень похожими критическими свойствами, причем эта аналогия отнюдь не искусственная. На самом деле существует глубокая физическая причина, лежащая в основе этой связи [см. (15.47)].
Дадим общее описание двух обширных классов многочастичных модельных гамильтонианов, прототипами для которых послужили модели МГЛ и Дикке.
Квантовая механика
13
з.1. Модели типа МГЛ
Предположим, что каждый из N одинаковых нуклонов может находиться в любом из г возможных состояний с энергией
ei < в2 < ••• < еЛ. При отсутствии взаимодействий гамильтониан можно выразить через многочастичные операторы
*=z z=z 8<?i«=n zе. (¦%¦)¦• (i5-27i>
г=1а—1 «=1 г=1
Типичный член гамильтониана, описывающий взаимодействие, включает произведение одночастичных операторов рассеяния
для двух различных нуклонов. Общий вклад таких членов можно записать в виде
