Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
150
Глава 19
Размерность Размерность Вырожденная Жорданова заорданоМ компоненты диаграмма q/орма <рормы сепаратрисы
Xz 1 з
Л Л. 3 1
-а-
0г 2 2
00 * 0
л2 1 3
лл з 1
Рис. 19.11. Размерности компонент сепаратрисы в пространстве R4 для (2 X 2)-матрицы устойчивости.
Компоненты с размерностями 0, 1, 2, 3 параметризуют системы с вырождением.
Решение. Требуемые пять открытых множеств изображены на рис. 19.10, где также показано открытое множество, не «близкое» к этой компоненте сепаратрисы.
Ясно, что диаграммы распределений собственных значений, соответствующих вырождению, описывают точки на сепаратрисе ‘ё’а в однако они характеризуют компоненты этой сепаратрисы не однозначно. Размерности различных компонент сепаратрисы определяются из жордановой канонической формы, связанной с вырожденной диаграммой, при этом используются методы, изложенные в гл. 14. Эта процедура иллюстрируется на следующих примерах.
Пример 5. Определить структуру сепаратрисы Я’с в пространстве, описывающем (2 X 2)-матрицы устойчивости.
Решение. Три открытых множества (рис. 19.11) с двумя корнями в отрицательной полуплоскости имеют единственную общую компоненту. Эта компонента параметризует (2 X 2)-матрицы с дважды вырожденным отрицательным собственным значением. Матрица устойчивости может иметь вид XX (диагональная) или X2 (жорданова верхняя треугольная). Диагональная матрица может встретиться только в 3-параметрических семействах (табл. 14.1), поэтому соответствующая компонента сепаратрисы имеет размерность 1 (= 4 — 3). Верхняя треугольная матрица X2 может встретиться в однопараметрических семействах; она параметризуется 3(= 4 — 1)-мерной компонентой сепаратрисы. В терминах параметризации (19.8) два собственных значения могут быть равны, только если со2 = г2 + s2, т. е. соответствующая точка лежит на поверхности конуса в пространстве R3. Если эта точка находится в вершине со = 0(=i> г = s = 0), то X может быть любым, соответствующая матрица диагональна и данная компонента сепаратрисы имеет размерность 1. Если со ф 0, то Рц неприводима к диагональ-
Автономные динамические системы
151
ному виду. Четыре параметра (X, <в, г, s) удовлетворяют одному ограничению, поэтому соответствующая компонента сепаратрисы трехмерна.
Аналогичные рассуждения справедливы и в том случае, когда вырожденные собственные значения лежат в правой полуплоскости. Если вырождено начало, то появляется дополнительное ограничение вида X = 0. В результате размерности компонент понижаются следующим образом:
X2: 3 ->02: 2,
XX: 1 -> 00: 0.
Пример 6. Определить размерности компонент сепаратрисы ff’a, описывающих (3 X 3)-матрицы с тремя вырожденными отрицательными собственными значениями.
Решение. Соответствующими жордановыми формами могут быть X3, Х2Х, XXX. Связанные с ними канонические формы Жордана — Арнольда имеют размерности 2, 4, 8 (табл. 14.1). Поэтому три компоненты сепаратрисы, параметризующие эту вырожденную диаграмму, имеют размерности: 9 — 2, 9 — 4 и 9 —- 8, т. е. 7, 5 и 1.
Пример 7. Определить размерности компонент сепаратрисы, параметризующих вырожденное распределение, показанное на рис. 19.10.
Решение. Соответствующая структура корней есть (Х)3аа. Трижды вырожденный корень может иметь такую же каноническую жорданову форму, как в примере 6, поэтому размерности компонент сепаратрисы SPa, параметризующих эту вырожденную диаграмму, равны 25 — 2 = 23, 25 — 4 = 21 и 25-8 = 17.
4. ВОЗМУЩЕНИЯ СЕДЛО-УЗЛА
Бифуркационное множество (19.126) для двумерной динамической системы содержит компоненты, определяемые соотношениями (19.16) и (19.17). В первом случае оба собственных значения действительны и хотя бы одно из них равно нулю. Ограничимся случаем, когда только одно из них равно нулю. Поскольку собственные значения F различны, можно найти систему координат, в которой матрица устойчивости диагональ-на. Тогда с точностью до главных членов уравнения динамической системы можно записать в виде
(2), Я, Ф О,
. (19.23)
•Ц- = Ах2 + 2 Вху + Су2 + О (3).
Пусть для определенности Ai < 0.
Эту систему можно исследовать методом фазового портрета. Прежде всего'оставим только главные члены разложений в правых частях на том основании, что нас интересуют лишь локальные свойства. Вводя новый масштаб по оси у {у-^у/С, если С Ф 0), приведем (19.23) к виду