Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 54

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 109 >> Следующая

Автономные динамические системы

137

Fz-0 Fz-0

F, = 0

-FfO

-FfO

-F,=0

-Fj'Q

-F,=0

-FrO

Fr-0

Рис. 19.1. Структурно неустойчивая динамическая система (б) располагается между двумя структурно устойчивыми динамическими системами (а и в).

Гг-О

Рис. 19.2. Кривые Fi = 0 и их пересечения определяют качественное поведение и фазовый портрет двумерной динамической системы.
138

Глава 19

2.2. F = О

В качестве следующего шага глобального анализа динамических систем имеет смысл найти точки равновесия, в которых F\{x,y) =0, F2(x, у) =0. Эти точки будут располагаться в точках пересечения кривых F\ = 0 и F2 = 0. Свойства устойчивости динамической системы в положении равновесия можно определить, линеаризуя эту систему в окрестности точки равновесия. Если л:0 — точка равновесия, то, положив 6х = х— х°, получим

Локальные динамические и структурные свойства устойчивости определяются собственными значениями матрицы устойчивости Fij — dPi/dXj, вычисленной в критической точке х°.

Будем считать, что в двумерной динамической системе состоянием равновесия является начало координат. Тогда линеаризованные уравнения движения имеют вид

Действительную (2 X 2)-матрицу F очень удобно представить в виде спиновой матрицы Паули следующим образом;

Для двумерных динамических систем имеет место однозначное соответствие между точками (Я, со, г, s)eR4 и устойчивостью матриц F (19.8). Удобно ввести следующую запись; R4 = R' х X R3 и Я е R1, (и, г, s)eR3.

Конус г2 + s2 — со2 = 0 в R3 является сепаратрисой, разделяющей матрицы устойчивости F с действительными (г2 -j- s2 —

— со2>0) и комплексными (r2 + s2 — со2 < 0) собственными значениями.

Если собственные значения действительны и различны, данная динамическая система локально эквивалентна некоторой градиентной системе. В этом случае динамическая устойчивость изменяется только тогда, когда det F = Я2 + а>2 — г2 — s2 = 0. Поэтому для любой точки (со, г, s) е R3, лежащей вне конуса r2-j-sa — to2 = 0, прямая R1 разбивается на три открытые обла-

4-(*° + 6x)i = Ft (х° + 6х) = Ft (х°) + bXj + 0{2),

jT6xt = Fti6xi + a(2).

(19.6)

(19.7)

К г s И- со

s — (о Я — г

]•

(19.8)

Собственные значения F равны

Я± = Я ± л!г2 + s2 — со2.

(19.9)
Автономные динамические системы

139

'(со, r7s)

S

(+.-) (+.+) ---------------- » -...—«-И

-Vrz+sz~tuz +Vr2*s2-co2

Рис. 19.3. Когда точка (со, г, s) лежит вне конуса, оба собственных значения матрицы устойчивости действительны и динамическая система локально эквивалентна градиентной.

Инерция этой системы зависит от \ и (г2 + s2 — ш2) '/г.

сти, характеризующие системы градиентного типа с собственными значениями (+, + ), (+, —), (—, —) (рис. 19.3) и с критическими точками — неустойчивым узлом, седлом и устойчивым узлом соответственно.

Точки, лежащие внутри конуса r2 + s2— со2 = 0, характеризуют динамические системы, локально не эквивалентные градиентным. Качественное поведение таких систем определяется знаками действительных и мнимых частей собственных значений

Применяя к системе уравнений (19.7) преобразование подобия, можно привести ее к виду

Данная система уравнений динамически устойчива, если Я < О, и неустойчива, если к > 0. Движение происходит по часовой стрелке, если о/> 0 (т. е. ш>0), и против часовой стрелки, если со < 0. Эти четыре качественно различных типа поведения системы показаны на рис. 19.4. Критическая точка называется устойчивым фокусом, если X < 0, и неустойчивым фокусом, если

(19.10)

со' = sign (со) д/to2 — г2 — s2.

(19.11)

Х>0.
140

Глава 19

-К—-*

Качественное

Рис. 19.4. Фокус в изолированной критической точке может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, %. < 0 или %. > 0.

Направление движения зависит от знака со.

Пространство R4, представляющее (2 X 2)-матрицы устойчивости F, разбивается на семь открытых областей, описывающих семь качественно различных типов динамического поведения системы. Эти открытые области структурно устойчивы и разделяются сепаратрисой, содержащей компоненты размерности 3,

2, 1, 0 и потому имеющей меру нуль. Три из них описывают динамически устойчивые системы.

3. ГЕОМЕТРИЯ МАТРИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ

3.1. п = 2

В критической точке n-мерной динамической системы матрица устойчивости Fij может быть представлена точкой прост-
Автономные динамические системы

141

ранства R". Это пространство разделяется на ряд открытых областей, параметризующих системы с качественно различным изменением динамической устойчивости. Открытые области отделяются одна от другой сепаратрисой в R" с компонентами размерности л2 — 1, л2 — 2, ..., 1,0 и, следовательно, имеющей меру нуль. Сепаратриса параметризует структурно неустойчивые матрицы устойчивости. Структурная неустойчивость может возникать по двум причинам:
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed