Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 50

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 109 >> Следующая


Складка. Предположим, что V(x, s) имеет вырожденную критическую точку в (дг°, s°). Эту точку можно найти экстраполяцией, как показано на рнс. 18.9. Кривизна складки в окрестности критической точки каноническим образом (по закону квадратного корня) зависит от s (рис. 18.9, а), поэтому из зависимости (V")2 от s в окрестности вырожденной критической точки с помощью простой линейной экстраполяции можно получить достаточно хорошую оценку для s°. Если s° известно, то через критические точки ^(s° — n8s) (п == 1, 2, ...) можно провести параболу, касательную к вертикальной гиперплоскости. Положение ветви после возврата в s° можно найти отражением (рис. 18.9,6). Как только мы «переступим» через критическую точку, можно снова «запустить» уравнение прогонки вдоль критической ветви, не забыв при этом изменить знак шага прогонки 6s.

Сборка. В этом случае собственное значение, обращающееся в нуль, стремится к нулю по линейному закону; поэтому место точки сборки можно найти экстраполяцией, как на рис. 18.10, а. Если точка сборки есть (*0 = x (s°), s0^, то координаты точек на начальной ветви вдали от s° приближенно равны

х (s° + i bs) с* лс° + (*° — х (s° — i 6a)) (18.31)

(рис. 18.10,6). Точки на разветвляющейся ветви можно найти следующим образом: отступить назад к s — As (где As составляет не менее десяти шагов прогонки) и добавить к потенциальной функции небольшую добавку, исчезающую вне интервала (so — As, s0 + As). Деформация общего вида «испортит» бифуркацию сборки. В результате уравнение прогонки можно проинтегрировать на участке за катастрофой без всяких затруднений и получить разветвляющуюся ветвь на дальнем конце от s° + As.

Итак, симметрично расположенную разветвляющуюся ветвь можно получить:

1. Интегрируя от So + As вдоль невозмущенной ветви в направлении отрицательных s и «переступая» через точку сборки;

2. Возвращаясь к s0 — As, используя исходное возмущение, взятое с обратным знаком, и прогоняя систему, как ранее;

3. Интегрируя исходное возмущение в направлении отрицательных s, начиная с точки sо+ As на центральной ветви;

4. Используя симметрию.

Поведение множества ветвящихся решений становится более интересным, если размерность ядра матрицы устойчивости равна
126

Глава 18

Рис. 18.9. Прогонка вдоль критической ветви возможна вне ростка катастрофы. Когда определитель матрицы устойчивости становится малым (а), то положение ростка можно найти экстраполяцией, используя известный вид канонической формы соответствующей катастрофы (б). Для «перешагивания» через росток катастрофы можно воспользоваться сечением канонической катастрофы (в).

Рис. 18.10.

а — для выявления типа катастрофы и ее положения можно воспользоваться связью между собственным значением матрицы и управляющим параметром; 6 — начальная ветвь сборки может быть продолжена простой экстраполяцией за критическую точку, при этом экстраполяция может быть и нелинейной; в — ответвляющиеся ветви можно найти с помощью «теории возмущений» (деформаций). Здесь мы «шагаем» после точки а до точки b (прогонка), где добавляем к потенциалу универсальную деформацию, по-прежнему оставаясь в критической то1гке, правда несколько смещенной. После этой вырожденной критической точки прогонка возобновляется (с, d). В точке е деформация снимается, и система возвращается на ответвившуюся ветвь. Далее можно возобновить прогонку либо в том же направлении (f, . . .), либо в обратном (g, h, i, . . .), для того чтобы построить новую ветвь. Для обхода точки h можно использовать обычную процедуру «перешагивания».

двум. Это может иметь место в случае потенциальной функции вида

V (х, у\ s) = k{ (si — s)x2 + k2 (s2 — s) y2 + x4 + У*, h >0, k2 > 0.

(18.32)

Как показано на рис. 18.11, а, при ф s2 одиночные бифуркации происходят в четырех точках. При si->-so, s2->-so мно" жество ветвящихся решений в so становится двумерным с че*
Градиентные динамические системы

127

Рис. 18.11.

а — критическое множество потенциальной функции (18.32) содержит четыре катастрофы типа Л + з; б — когда ответвления от магистрали :овпадают, все четыре ветви ответвляются из одной точки; в — в случае симметрии (18.33) бифуркационное множество представляет собой параболоид вращения; г — соответствующая потенциальная функция инвариантна относительно группы 0(2).

тырьмя отдельными ветвями, ответвляющимися от «магистра-ли» при s — so (рис. 18.11,6). В том случае, когда повышение размерности ядра происходит из-за симметрии, как в случае k\ = k'2 — k,

V (х, у\ s) = k (So — s) (x2 -ь y2) + (x2 + y2)2, (18.33)

множество ветвящихся решений двумерно и представляет собой параболоид вращения (рис. 18.11,в). На этом множестве решений у матрицы устойчивости есть одно нулевое и одно ненулевое собственные значения. В первом случае стационарная
128

Глава 18

точка (в данном случае минимум), соответствующая этой «ветви», нелокальна по своей природе. На рис. 18.11, г показаны формы потенциальной функции при различных значениях s. Вообще говоря, если на функцию наложено условие инвариантности относительно некоторой непрерывной группы, то бифуркационные критические множества по своей природе не совпадают с одним или более нулевыми собственными значениями матрицы устойчивости.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed