Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ь* | п) — д/га ~Ь 11 я -Ь 1/, b I п) = л/п [ п — 1).
(15.4)
(15.5)
[А, ВС] = [А, В]С + В[А, С].
(15.6)
8
Глава 15
а = f. Ниже эта алгебраическая структура будет явно исполь-зована для замены g'-чисел (операторов) с-числами (функциями), которая является центральным моментом в настоящей серии приложений теории катастроф к квантовой механике. ООО Пусть А, В, С —(г X г)-матрицы, причем [А, В]—С. Определим операторы s4' = a\Aijaj и 38, аналогичным образом. Тогда
[А, В] = СSf\ = V. (15.7)
Короче говоря, существует изоморфизм между матричными алгебрами Ли и операторными алгебрами Ли, основанными на билинейных комбинациях a\ai бозонных или фермионных операторов.
ООО Операторы a\aj сохраняют численность. Если в k-м со-
Г
стоянии имеется и*, частиц и «6, то в результате приме-
нения оператора afiaj в г-м состоянии появится еще одна частица, в /-м состоянии станет одной частицей меньше, а число частиц в остальных состояниях не изменится. Короче говоря, операторы (г Ф /) перемещают частицы. Такие операторы часто называют операторами сдвига. Все операторы сдвига коммутируют с оператором полной численности
Г
п,=а\а,. (15.8)
i = 1
ООО Если имеется только одна частица, то операторы aja^ можно заменить операторами проектирования
а+а;.«=Нг></1. (15.9)
Здесь |г>— состояние, в котором одна частица пребывает в г-м состоянии (или на г-м уровне) и нет частиц в других состояниях. Иная эквивалентная интерпретация, иногда оказывающаяся полезной, состоит в том, что частица имеет г возможных
состояний 11 >, |2>, ..., |г> и оператор ata/ перемещает час-
тицу из /-го состояния в г-е состояние.
2. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
Число состояний в типичной квантовой системе (отдельный атом, молекула или нуклон) может быть очень велико. Однако довольно, часто лишь немногие из них оказываются важными, и если это так, то их можно пронумеровать как |г>, г = 1, 2, ... ..., г. Наиболее общим оператором в конечномерном простран-
Квантовая механика
9
стве _С/, описывающим такую «усеченную» систему, является следующий:
Каждый оператор в этом пространстве может быть представлен линейной суперпозицией одночастичных операторов eij, порождающих алгебру Ли u(r) группы Ли U(r):
Во многих случаях квантовомеханическая система содержит много (N) одинаковых подсистем, каждая из которых имеет г внутренних состояний. Одночастичные операторы е^\ описывающие а-ю частицу, коммутируют с операторами, описывающими р-ю частицу:
Многочастичный оператор удобно определить следующим об-
Многочастичные операторы удовлетворяют тем же отношениям коммутативности, что и одночастичные операторы, поскольку соотношения
изоморфны (15.11). Поэтому если внутренняя динамическая группа отдельной частицы есть U(г), то внутренняя динамическая группа N одинаковых взаимодействующих частиц также будет U(г).
Если число N одинаковых частиц велико, удобно определить усредненные многочастичные операторы, поделив Ец на N:
В предельном случае (при больших N) соотношения коммутативности усредненных многочастичных операторов принимают
Г
Г
(15.10)
[eijl ers]—eis^jr eri^5t'
(15.11)
[4“'. ==o.
= (15.11), a = p.
(15.12)
разом:
N
(15.13)
N N N N
N
= Z №а,,-ейч„)“ЗД,-?-А| U5-U)
(15.15)
10
Глава 15
очень простой вид:
Из (15.13) следует, что матричные элементы усредненных многочастичных операторов Ei,-/N того же порядка (порядка 1), что и элементы одночастичных операторов. Матричные элементы коммутатора двух усредненных многочастичных операторов имеют порядок 1/N. В пределе при N-*- оо усредненные многочастичные операторы коммутируют. Это означает, что они одновременно диагонализируемы, т. е. в некотором смысле классические.
Строгое вычисление такого классического предела выходит за рамки настоящей книги. Вместо этого приведем некоторые эвристические рассуждения. Если волновая функция отдельной частицы есть
Легко вычислить матричный элемент одночастичного оператора сдвига ец:
Поскольку Eij/N ~ ец, то для предельного классического случая усредненных многочастичных операторов получаем
Этот переход к предельному классическому случаю можно про-
litycolfo, z2, ..., zr), то из условия нормировки <"ф | "ф) = 1 следует
(15.17)
Г
I 'Ф) = Z 2*2, = 1. ;=1 '
(15.18)
<i|>| е„1У) = г,1гг
