Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Градиентные динамические системы
123
Таблица 18.2. Положение и тип критических точек на дереве ветвления
Положение Тип катастрофы Направление m-арная -> п-арная
ветвления
2.0 Л-з X 0 -> 1
4.0 Л+з У 0 -> 1
7.0 Л---з X 0 -> 1
1.0 хфО Лг X 1 -> 1
3.9 хфО Л+з У 1 -> 2
5.9 хфО Л+з У 1 ч-> 2
4.2 уф0 Л-з X 1 ->• 2
5.5 хфО Лг X Несвязная первичная
6.5 хфО Лг X ветвь
Все равновесия, возможные при с — 1,5; 3; 4,5; 6, показаны на рис. 18.8. Эти точки получаются в результате сечения дерева равновесий четырьмя горизонтальными плоскостями с = const. В каждой такой плоскости легко построить фазовый портрет градиентной системы, воспользовавшись ранее описанными методами. Однако мы просто указываем тип устойчивости каждого положения равновесия.
4. ПРОГОНКА
Рассмотренные качественные (топологические) методы дают большой объем полезной информации о градиентной (и динамической) системе ценой сравнительно небольших усилий. Этим обстоятельством объясняется столь интенсивное развитие топологии (у истоков которой стоял Пуанкаре) как нового раздела математики.
Ниже описываются основные этапы процесса исследования градиентной системы, зависящей от внешних управляющих параметров.
1. Для фиксированных значений управляющих параметров с вначале определяют все равновесные состояния (из условия W = 0), а затем типы устойчивости и главные оси для каждого равновесного состояния. Полученная информация может быть использована в качестве каркаса для построения фазового портрета системы во всем фазовом пространстве (пространстве состояний). Пользуясь методикой, описанной в гл. 5, можно также найти сепаратрисы и области притяжения.
2. При изменении управляющих параметров изменяются положения равновесных состояний так же, как и точки и области притяжения и сепаратрисы. Если, однако, det Уц = 0 вдоль каждого равновесия, то качественно этот фазовый портрет оста-§TQfl неизменным. Появление вырожденной критической точки
124
Глава 18
вносит качественные изменения в фазовый портрет системы, и наоборот. Если на некоторой критической ветви х‘(с) в точке с0 det Уц Ф 0, то в некоторой окрестности точки (х°\ с°)е R"® ® R* должны быть дополнительные критические точки.
Для градиентной динамической системы с одним управляющим параметром s описанный выше алгоритм можно реализовать в виде процедуры, называемой прогонкой. Связь между
изменением 6s управляющего параметра и смещением критической точки дается соотношением (5.2):
УцЬх1 + Vls6s = 0. (18.29)
Если матрица устойчивости Уц не вырождена, то смещения Ьх! определяются выражением
Ьх! = - (V-'fVtjbs. (18.30)
Уравнение (18.30) очень удобно для машинных вычислений. Выбирая шаг 6s прогонки достаточно малым, можно очень просто «прогнать» систему вдоль критической ветви между вырожденными критическими точками.
Естественно, наиболее интересные явления наблюдаются тогда, когда Уц вырождается и уравнение (18.30) теряет смысл.
' Тогда в вырожденной критической точке становятся возможными разворот и появление новых ветвей.
Если (х°, s°)—вырожденная критическая точка, то «плохие» направления в фазовом пространстве легко найти из уравнения
V i fix' =0.
А именно собственный вектор (б*1, б*2, ..., 6хп) матрицы Vih соответствующий нулевому собственному значению, касателен к исходной ветви в точке возврата или к ответвляющейся новой ветви.
Довольно легко определить, что именно происходит в вырожденной критической точке: разворот (Л2) или бифуркация (Л3). Пусть (6х)° — собственный вектор Уц в точке (x°,s°), соответствующий нулевому собственному значению, и (б*)-1 — изменение координат критической точки при прогонке от s° —
— 6s до s. Тогда,
— если вектор (б*)-1 приблизительно параллелен (бх)°, то в (х°, s°) имеет место катастрофа Л2;
— если вектор (бл:)-1 приблизительно перпендикулярен (бх°), то в (х°, s°) имеет место катастрофа Л3.
Появление вырожденной критической точки мешает интегрированию «уравнения прогонки» (18.30). Однако поскольку элементарные катастрофы обладают каноническими свойствами (если известен тип катастрофы, происходящей в вырожденной
Градиентные динамические системы
125
критической точке), то эти свойства можно использовать для продолжения интегрирования «сквозь особенность*. Проиллюстрируем, как это можно сделать, на примере катастроф складки и сборки.
