Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 48

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 109 >> Следующая


V (х (с) + 6*, у,с) ~ а (6х)2 + (с — 5,9) у2 + Ъу\ (18.26)

где а > 0, Ъ > 0. При с < 5,9 имеются два локальных решения у(с)ф 0, а при с > 5,9 ни одного. Поэтому вторичная ветвь, ответвившаяся в катастрофе Л+3, вначале поворачивает вниз. Инерция этой вторичной ветви также имеет вид (+, +). Рассматриваемая ветвь может быть (а может и не быть) такой же, как и вторичная ветвь, ответвляющаяся при с = 3,9. Если это так, то потенциальную функцию в окрестности первичной ветви приближенно можно записать как

V (х (с) + 6*, у-,с)с^а (бxf + ^ {с — 3,9) (с — 5,9) у2 + Ьу\ (18.27)

Тогда можно сказать, что при с — 3,9 первичная ветвь «сбрасывает» устойчивые вторичные ветви, которые затем снова к ней присоединяются при с — 5,9. Другая возможность состоит в том, что вторичная ветвь, ответвляющаяся при с = 5,9, вначале поворачивает вниз и затем, при некотором с > 0, — снова вверх в катастрофе складки. Причины такого поведения уже обсуждались выше. На подъеме по этой ветви инерция имеет вид (+,—)• Первая из указанных двух возможностей иллюстрируется на рис. 18.7.

Займемся теперь второй первичной ветвью, ответвляющейся от магистрали при с — 4. Будем предполагать наличие катастрофы А+з в направлении у. Первичная ветвь поворачивает вверх с инерцией (—, +)• Для эт°й ветви х = 0, у(с)ф 0. Вторичное ветвление в направлении х все еще остается возможным. Предположим, что оно происходит при с = 4,2 и относится к типу А-з, так что,

V (х, у (с) + 6г/; с) ~ (с — 4,2) х2 — ах4 + b {by)2, (18.28)

где а > 0, b > 0. При с > 4,2 имеются два локальных решения х(с)ф 0 и ни одного при с < 4,2, поэтому вторичная ветвь, ответвляющаяся в катастрофе Л_3, поворачивает вверх. Вдоль первичной ветви при с > 4,2 инерция имеет вид (+, +), по--
Градиентные динамические сиетемы

121

скольку изменится знак собственного значения, связанного с х. Инерция вторичной ветви должна быть (—, +), так как вторичная ветвь х(с)ф 0, у(с)ф 0 неустойчива в направлении х.

Рассмотрим третью первичную ветвь, ответвляющуюся от магистрали при с = 7 в направлении х. Когда с, возрастая, принимает Зйачение с = 7, собственное значение, связанное с х, из отрицательного становится положительным. Если предположить, что (х,у,с) — (0,0; 7) есть точка катастрофы Л_3, то первичная ветвь должна повернуть вверх с инерцией (—, —). ООО Если при с = с0 происходит ответвление от я-ветви1 к (я + 1)-ветви, то инерция (л+ 1)-ветви, существующая локально только по одну сторону от с0, совпадает с инерцией n-ветви по другую сторону от с0. Другими словами, если при возрастании с происходит катастрофа А±з и при этом знаки собственных значений матрицы устойчивости изменяются от ± к +, то ответвляющиеся решения поворачивают вверх или вниз в соответствии с таблицей

Изменение знака собственного значения при увеличении с
Тип катастрофы
+ -> - - -> +
А+з Вверх Вниз
А---з Вниз Вверх
ООО Касательная к (п + 1)-ветви, ответвляющейся при с = = с0 от n-ветви, параллельна собственному вектору матрицы устойчивости, соответствующему собственному значению, обращающемуся в нуль на л-ветви при с — с0.

ООО Множество решений х(с), у (с) уравнения SlV{x,y\ с) = = 0 не обязательно должно быть связным. При возрастании с могут «внезапно возникнуть» одновременно седло и локальный экстремум. Если ни одно из них не будет «затянуто» ветвью, ответвляющейся от магистрали, то полное множество решений не связно. Эти новые решения могут иметь собственные точки бифуркаций и разворота; они могут бесконечно продолжаться в направлении роста с или могут столкнуть и уничтожить друг друга, образовав изолированные «пузыри» в пространстве переменных состояния. Инерцию для таких пузырей часто нетрудно угадать (рис. 18.7).

ООО Мы полностью определили качественные свойства градиентной системы, исходя лишь из знания положений неморсов-ских критических точек в R2®R*. Качественные свойства

1 В этой терминологии «1-ветвь» — первичная ветвь, «2-ветвь» — вторичная ветвь и т. д. — Прим. ред.
122

Глава 18

Рис. 18.8. Сечения дерева ветвлений различными плоскостями с = const. Критические точки в одной плоскости явным образом связаны с критическими точками в близлежащих плоскостях. Расположение критических точек на плоскости можно использовать для построения картины потоков в этой плоскости.

«дерева равновесий (ветвлений)» определяются положением и типом катастроф, которые возможны (Л2,Л±з) в этом однопараметрическом примере. Кроме того, инерция матрицы устойчивости на каждой ветви полностью определяется (без каких бы то ни было вычислений!) инерцией в одной точке (х, у; с) = (0, 0; 0). В табл. 18.2 дана сводка положений, типов и свойств каждой неморсовской критической точки для этого примера.

ООО Множество решений х(с), у(с) уравнения WV(x, у, с) = = 0, связанных с магистралью, имеет простое происхождение. От магистрали может ответвляться много первичных ветвей, помечаемых порядком их возникновения. Точно так же от первичной ветви может ответвиться много вторичных ветвей, помечаемых аналогичным образом. В этом примере нет третичных ветвей.
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed