Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Бифуркационная диаграмма (рис. 18.7) имеет вид дерева, поэтому множества решений х(с), у (с) уравнения W(x, у;с) = = 0 называют ветвями. Универсальное решение х(с)=0, у (с)—0, требуемое по условиям симметрии, называется магистралью или нулевой ветвью. Первичные ветви ответвляются от нулевой ветви, вторичные от первичных и т. д. В данном примере нет третичных ветвей, поскольку вдоль вторичных ветвей нет симметрии.
118
Глава 18
Рис. 18.7. Дерево ветвлений.
Для большей ясности предположим, что 0 ^ с < оо и что при с = 0 потенциальная функция V{x, у, с) имеет единственную критическую точку в начале координат пространства управляющих параметров. Кроме того, будем предполагать, что вдоль этой нулевой ветви собственное значение, связанное с направлением х, обращается в нуль при с — 2 и с = 7, а собственное значение, связанное с у, обращается в нуль при с = = 4. Удобно помечать ветви (помимо указаний «нулевая», «первичная» и т. д.) их инерцией, или суммой знаков собственных значений матрицы устойчивости. Эта величина остается постоянной на участках между бифуркациями и точками разворота (описанными ниже) и меняется всякий раз, когда какое-либо собственное значение на данной ветви обращается в нуль и меняет знак. Инерция вдоль нулевой ветви определяется элементарно. При с — 0 функция V(x,y, с) имеет минимум, поэтому инерция имеет вид (+, +); при с— 2 собственное значение, связанное с х, обращается в нуль, поэтому при 0 ^ с < 2 инерция (+, + ), а при 2<с<4 инерция (—, +). Первый и второй знаки в скобках относятся к направлениям х и у соответственно. При с = 4 собственное значение, связанное с у, обращается в нуль, поэтому при 4 < с < 7 инерция имеет вид (—, —). Наконец, при с — 7 собственное значение, связанное с х, снова обращается в нуль, поэтому при с> 7 инерция (+,—). Из этих элементарных рассуждений следует, что решение х(с) — = 0, у (с) = 0 неустойчиво при с > 2.
Рассмотрим первую из первичных ветвей. Предположим, что при х = у = 0 с = 2 и имеется катастрофа типа Л_з. Посколь-
Градиентные динамические системы
119
ку ветвление происходит в направлении х, то в окрестности точки бифуркации (ветвления)
V {х, у; с) ш const + (2 — с) х2 — ах4 + by2, (18.24)
где а > О, b > 0 (члены более высокой степени и несущественные положительные множители опущены). В окрестности не-морсовской критической точки первичные ветви имеют вид х(с)~±[(2 —с)/2]Ч у(с) = 0. Они «загибаются» в сторону меньших значений с по каноническому закону квадратного корня. На первичной ветви направление у неустойчиво, однако направление у по-прежнему должно оставаться устойчивым в силу непрерывности собственных значений матрицы Уц(х, у, с) в окрестности точки (х, у, с) — (0, 0; 2). Поэтому в окрестности точки бифуркации на первичной ветви инерция имеет вид (—, +)•
Эта первичная ветвь не может бесконечно продолжаться в сторону меньших значений с, так как по предположению V(x, у; с) имеет только одну критическую точку с = 0, а именно (х, у) = (0,0). Точно так же первичная ветвь не может просто оборваться. Кроме того, в однопараметрическом семействе, как правило, бывает либо складка (несимметричный случай), либо сборка (симметричный случай). Поэтому «судьба» первичной ветви однозначно определена. При 0 < с < 2 (скажем, при с = 1) вдоль ветви х(с)ф 0, у = 0 собственное значение, связанное с х, вторично обращается в нуль в канонической катастрофе складки. Можно сказать, что первичная ветвь «разворачивается» в сторону возрастающих значений с. Инерция на этом «подъеме» ( +, +), поскольку собственное значение, связанное с х, снова перешло через нуль.
ООО Выражаясь более образно, можно сказать, что аттрактор и седло «сталкиваются и уничтожают друг друга», когда с, уменьшаясь, проходит через единицу. Или же можно сказать, что с ростом с при с = 1 внезапно рождаются аттрактор и седло, которое затем поглощается нулевой ветвью.
Вдоль первичной ветви х(с)ф 0, у(с)—0 вид функции V(x(c) + бх, бг/; с) не меняется при замене б у-*—by и меняется при бх->—бх. Поэтому обращающиеся в нуль собственные значения, связанные с х, ассоциируются с дополнительными «разворотами», в то время как обращающиеся в нуль собственные значения, связанные с направлением у, ассоциируются с ответвлениями от первичной ветви, при которых у (с)-Ф 0. В этих вторичных бифуркационных точках касательная к вторичной ветви перпендикулярна плоскости (х, с). Будем предполагать, что две вторичные ветви ответвляются от этой первичной ветви при с — 3,9 и с — 5,9 и что обе бифуркации относятся
120
Глава 18
к катастрофам типа Л+3. Потенциальная функция в окрестности точки х(с)ф 0, у = 0, с = 3,9 имеет вид
V (х (с) + 6х, у\с)~а (дх)2 + (3,9 — с) у2 + 6гД (18.25)
где, как обычно, оставлены только главные члены и а > 0, b > 0. Для с > 3,9 имеются два локальных решения у(с)ф 0, а для с < 3,9 ни одного. Следовательно, вторичная ветвь поворачивает вверх. Инерция этой ветви имеет вид (+, +), а первичной ветви (+, — )при 3,9 < с < 5,9. При с — 5,9 собственное значение, связанное с у, вновь обращается в нуль. Катастрофа А+3 при х(с)ф 0, у = 0, с = 5,9 имеет вид
