Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 45

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 109 >> Следующая


мущения. Уравнения движения имеют вид dx dV'
112

Глава 18

Рис. 18.4.

а — морсификация ростка Z>_4= х2у — i/3/3 и потоки в его окрестности; б — предельный случай «слабого поля» портрета (а) дает картину потоков для вырожденной критической точки D_4.

Фазовые портреты системы в окрестности невырожденных критических точек показаны на рис. 18.3.

Пример 3. Точно так же можно получить фазовый портрет для потенциальной функции вида V(x, у) = х2у — г/3/3. Схематически этот фазовый портрет был изображен на рис. 5.19. По этому рисунку можно легко восстановить весь портрет для V(x, у) (рис. 18.4).

Фазовый портрет для этой потенциальной функции может быть получен непосредственно, не прибегая к методу возмущения. Уравнения движения
Градиентные динамические системы

113

dx_„ dt и

Рис. 18.5. Потоки в окрестности вырожденной критической точки можно найти путем элементарных рассуждений.

Здесь х=0. Тогда ху — 0 и $=0, когда х - ±у. Уравнение сепаратрис: х = ау, а = О,

±л/з.

имеют вид

dx

dt

dV

дх

= —2ху,

dy

dt

dV 2 _L 2

------г— = — X2 + у2.

ду *

(18.13)

Горизонтальная компонента скорости (вдоль оси х) обращается в нуль на прямых х — 0 и у = 0, а вертикальная (вдоль оси у) — на прямых х = у и х = —у (рис. 18.5). Структурно неустойчивые траектории, вдоль которых горизонтальная и вертикальная компоненты скорости пропорциональны, можно найти, положив в (18.3) х = ау и разрешив систему уравнений

aJsf= ~2ау2>

(18.14)

dy

dt

‘(1

а2) у2

2ау2. При любом у решения имеют

относительно а. Тогда а(1 — а2)у2 = вид _

а = 0 (ось у), а=±л/3. (18.15)

Эти сепаратрисы и направления движения по ним показаны на рис. 18.5. Используя полученную информацию (две прямые, на которых dx/dt = 0, две прямые, на которых dy/dt = Q, и три сепаратрисы), нетрудно построить весь фазовый портрет.

Как видно из рис. 18.5, существует определенная симметрия, которая становится совершенно япной, если произвести некоторое преобразование координат и проследить, как меняется поведение потенциальной функции. При
114

Глава 18

И,

г

\

S

\

Рис. 18.6. Простое вращение осей координат.

Здесь х' = х cos 0 + у sin 0, у' = у cos 0 — х sin 0.

повороте координатной системы х, у на угол 0 посредством преобразования

получим систему координат х', у’, показанную на рис. 18.6. Такое преобразование имеет следующий геометрический смысл. Если х(р), у(р)—координаты некоторой точки р в старой системе координат S, а х'(р), у'(р)—координаты той же точки в новой системе S', то х, у и х', у' связаны соотношением (18.16) (рис. 18.6). Положив 0 = 2л/6 (рис. 18.5), выразим х, у через х', у'\ _____

При повороте на 60° потенциальная функция меняет знак. При отражении от оси у: (л—¦*>+</) потенциал не меняется и изменяет знак при отражении от оси х: (х, (/)-*-(х, —у). Эти свойства симметрии потенциала находят свое отражение в симметрии фазового портрета, очевидной из рис. 18.5.

[х' “I Г cos 0 J = L — sin 0

(18.16)

л/з "

2 2

Функция V(х, у) легко выражается через новые координаты

ООО В случае градиентных систем, описываемых потенциальной функцией V(x;c), зависящей от k управляющих параметров, важно знать, образует ли множество точек в
Градиентные динамические системы

115

(*eRn, ceR‘), являющихся вырожденными критическими точками V(x\c), замкнутое множество меры нуль. Если это так, то дополнительное множество, состоящее из точек, в которых V имеет ненулевой градиент или находится в состоянии невырожденного равновесия, является открытым и плотным в Rn ® R*. В этом случае описанные выше методы анализа могут оказаться полезными, поскольку фазовый портрет в окрестности вырожденной критической точки может быть аппроксимирован сколь угодно близко фазовыми портретами возмущенных потенциалов, обладающих только изолированными критическими точками.

3. ДЕРЕВО ВЕТВЛЕНИЙ

Итак, как только найдены положения равновесия, главные оси и собственные значения, построение фазового портрета становится сравнительно простым делом. Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров, то положения точек равновесия, направления главных осей и собственные значения становятся функциями этих параметров. При этом, естественно, могут возникать вырожденные критические точки. Тогда, пользуясь методами, описанными в предыдущем разделе, можно построить фазовые портреты в окрестности таких катастроф.

В том случае, когда интерес представляют только одна или две переменные состояния х, у и имеется лишь один управляющий параметр с, положения критических точек (х(с), у (с)) можно изобразить как функцию этого параметра. Число изолированных критических точек, вообще говоря, зависит от значения с, однако это число изменяется только при возникновении катастрофы.
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed