Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 44

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 109 >> Следующая

Лг<Лг

A} > Л2

-4*-

6'

Рис. t8.1. Траектория движения системы к состоянию устойчивого равновесия определяется относительной величиной положительных собственных значений матрицы устойчивости.

Двойная стрелка на траектории указывает на большую скорость движения

Если оба собственных значения матрицы положительны, система (динамически) устойчива. Для того чтобы уточнить динамику движения системы к положению равновесия, вычислим предел

lim У lim e(U- Xz)t

oo x(t) К 6X )t -> oo

При этот предел равен нулю, а при A,i > %2 он равен

±°°. Следовательно, система стремится к равновесию вдоль оси а:, если Xi < Х2, и вдоль оси у, если Х2 < X] (рис. 18.1). В случае Ai = Х2 система (динамически) структурно неустойчива, поскольку она стремится к равновесию по прямолинейной траектории. Возмущение такой системы (рис. 18.1,6) приводит к одному из двух динамически структурно устойчивых состояний, показанных на рис. 18.1, а, в.

Описанный метод может быть обобщен для изучения динамической структурной устойчивости n-мерных градиентных систем. Если точка л;0 является положением устойчивого невырожденного равновесия, а главные оси Х\, х2, хп выбраны так, что Ai > > • • • > Хп (>0), то динамика движения системы к по-

ложению равновесия выглядит следующим образом. Координата 6*1 движется к нулю быстрее всех, за ней следует 6х2 и т. д. Равенство двух или более собственных значений матрицы соответствует динамически структурно неустойчивому состоянию системы, когда сколь угодно малое возмущение может радикально
Градиентные динамические системы

109

изменить траекторию, по которой она движется к локально устойчивому равновесию.

ООО Такой тип структурной неустойчивости систем в чем-то сродни максвелловской (равные минимумы) структурной неустойчивости статических градиентных систем.

2.3. VV = 0, det 0 (вырождение)

Если = 0 и det Vi/ = 0 в точке *°, то фазовый портрет системы в окрестности х° также можно построить описанным выше методом. Однако довольно часто более удобным оказывается метод, предусматривающий такие операции, как (1) введение возмущения в потенциальную функцию, (2) исследование фазового портрета системы в окрестности каждой изолированной критической точки, и (3) анализ поведения при «очень удаленном» источнике возмущения. Проиллюстрируем этот метод на ряде примеров.

Пример 1. Построим фазовый портрет системы, состояние которой описывается потенциальной функцией вида V(х, у) = *3/3 + у212. Наиболее общее возмущение этой потенциальной функции имеет вид

V'(x, у а)=^- + ах +-? . (18.8)

Соответствующие уравнения движения могут быть записаны как йх _дГ_ =

dt дХ (18.9)

dy dV'

При а < 0 имеются две изолированные критические точки: (*, у) — (+ V— а, 0) и (— V— а, 0). Матрица устойчивости имеет вид

"КГ :]¦

(18.10)

поэтому оси * и у являются главными. Фазовые портреты в окрестностях изолированных критических точек схематично изображены на рис. 18.2, а.

Пример 2. Совершенно аналогичным образом можно построить фазовый портрет системы, состояние которой описывается потенциальной функцией вида V (х, у) = х*/4 + у2/2. Для простоты рассмотрим возмущение V(x,y), сохраняющее симметрию:

X* /71*2 *j2

V'(x,y,a)^+~- + -(18.1»

Нет необходимости рассматривать возмущения' наиболее общего вида, по* скольку мы стремимся лишь «морсифицировать» вырожденную критическую точку и в конце концов определить предельное влияние исчезающего воз-
110

Глава 18

У

а

Рис. 18.2.

а—свойства критических точек, полученных из неморсовской критической точки ката* строфы Ач морсификацией; б — соответствующие потоки; в — потоки вблизи вырожденной критической точки, полученной в результате «деморсифнкадии» (б). Свойства изолированных критических точек могут быть описаны стрелками: стрелки направлены вдоль главных осей и указывают в сторону критической точки, если собственное значение матрицы Vц положительно (устойчиво), и в обратную сторону, если оно отрицательно. Длина стрелки показывает величину соответствующего собственного значения.
Градиентные динамические системы

111

а

У-

8

Рис. 18.3.

а — морсификация критической точки катастрофы б — соответствующие потоки; в —*

потоки вблизи вырожденной критической точки катастрофы Л_|_з: результат деморсифи-кации (б).
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed