Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. НЕКАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ГРАДИЕНТНЫХ СИСТЕМ
Системы, уравнения движения которых могут быть получены из потенциала l/(x) как
dxi dV
dt dxi
(18.1)
называются градиентными. Уравнения dxi/dt = 0 определяют положения равновесия VV = 0 системы. Изучение состояния равновесия градиентных систем, смещение этих равновесий и изменения их характера при изменении управляющих параметров составляют предмет изучения элементарной теории катастроф.
Элементарные катастрофы являются каноническими формами потенциальной функции V(х, с) в окрестности неморсовских
106
Глава 18
критических точек. В случае k ^ 5 любую типичную потенциальную функцию V (х; с) можно привести к каноническому виду одной из элементарных катастроф путем гладкой замены переменных. Такие преобразования облегчают перечисление и классификацию элементарных катастроф.
Казалось бы, что градиентную динамическую систему (18.1) также моэКно привести к некоторой канонической форме с помощью гладкой замены переменных в окрестности «плохих» точек. Однако это не так, поскольку левая часть уравнения (18.1) уже записана в каноническом виде. Поэтому любая гладкая замена переменных, которая могла бы привести правую часть к канонической форме одной из элементарных катастроф, немедленно «испортит» канонический вид левой части. Эту трудность можно исключить, если воспользоваться элементарной теорией катастроф, так как в этом случае левая часть (18.1) будет равна нулю и, следовательно, будет иметь канонический вид в любой системе координат.
2. ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
Для изучения свойств градиентной системы (18.1) в окрестности некоторой точки х° воспользуемся методом фазбвого портрета
2.1. VV ф 0
Если VV ф 0, то
+ Vt^
Пренебрегая членами порядка единицы, получим следующее решение для (18.2):
(х (t) — x°)i = — Vit.
Отсюда следует, что лойальное поведение системы (функции) линейно, как этого и следовало ожидать для точки, в которой движущая (вынуждающая) сила равна F — —VV ф 0.
Если значений управляющих параметров слегка изменить от с0 до е° + 6с°, то значения первых производных Vi также несколько изменятся.
По причинам, указанным в гл. 2, в этом приближении всегда можно выбрать такую систему координат, в которой dx\/dt =
— —1, dxj/dt = 0, / = 2, ¦.., п. Это означает, что в достаточно малой окрестности точки л:0 система будет двигаться прямолинейно в направлении х\ с постоянной скоростью, равной —1,
(18.2)
*) Этот метод был кратко описан в гл. 5.
Градиентные динамические системы
107
2.2. VV = 0, det Уцф 0 (равновесие)
Если у К = 0, a det Уц ф 0 в точке х°, то точка х° соответствует невырожденному состоянию равновесия. В окрестности хь градиентные уравнения движения (18.1) принимают вид
^-6хг= -уцьХг\-0(2), (18.3)
где 6xt = x. — х°г С точностью до членов второго порядка это система локально линейных уравнений. Проинтегрировав ее, получим
bxt (t) = (e~vt)it6xj (0), (18.4)
где V — действительная симметрическая (п X п)-матрица, как и ехр(—Vt). Однако информативней будет сначала применить к (18.3) не зависящее от времени линейное преобразование, приводящее ее к диагональному виду
i Ф 0. (18.5)
Решения (18.5) могут быть получены элементарно:
(y(t)-y°h = byi(0)e-4. (18.6)
Если 0, то yi(t) стремится к у° при ^->-+оо; если же Xi < 0, то yi(t) удаляется от y°h Свойства устойчивости градиентной динамической системы в морсовском равновесии характеризуются морсовским г'-седловым типом равновесия.
Если значения управляющих параметров изменить от с0 до с0 + бс°, то положение хй равновесия изменится, но не намного (ср. (5.2)), и значения матричных элементов Vij в точке равновесия также изменятся несущественно. При этом тип равновесия остается прежним, поскольку ни одно из собственных значений матрицы не изменило знака. В результате получаем, что морсов-ская критическая точка структурно устойчива к возмущениям.
Если, однако, det Vtj = 0, то динамические свойства вблизи равновесия вовсе не обязательно структурно устойчивы к возмущениям. Динамически структурно неустойчивые решения возникают в том случае, когда два или более ненулевых собственных значения fa матрицы Vij равны (динамическая вырожденность). Причину такой неустойчивости проще всего понять, если рассмотреть двумерную динамическую систему (п= 2). Если невырожденной критической точкой является (х, у) = (0, 0), а оси х и у — главные оси, то движение системы от начального положения (6я, 8у), (6хф0, 8у = 0) описывается уравнениями
х {t) — Ьхе~%1*,
у (t) = буе Ч
(18.7)
108
Глава 18
Лг< л2 Xi~ Л2 А ] > Лг
__J
> 1 6 *1 В
а
2
i i
