Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Проиллюстрируем вышеизложенные замечания для случая гг = 1 на примере функции f(x) = х2, —оо < х < + оо. При деформации
F (х; е) = f(x) + ex = (х + 1/2 е)2 — (1/2 е)2, — оо < х +
(17.10)
поэтому минимум перемещается из х — 0 в х = — е/2. Таким образом, деформация не вносит качественных изменений в критические свойства функции f(x) =х2 — факт, уже отмечавшийся в гл. 4.
Если рассмотреть ту же функцию f (х) = х2 на луче 0 ^ х < < оо, то деформация ех имеет явные качественные последствия. При е>0 имеется глобальный минимум в х = 0, где dF/dx>
> 0. При е < 0 наблюдается глобальный минимум во внутренности области [0, оо] при х = —е/2 > 0, где dF/dx = 0, и локальный максимум при х = 0, в котором dF/dx = 0. Локальный минимум в х — 0 при е > 0 и локальный максимум в х — 0 при е < 0 возникают только из-за наличия ограничения х^0 в области определения F(x). Функция F(x\e = 0) =х2 является сепаратрисой, разделяющей функции двух качественно различных типов: функций с одним глобальным минимумом и функций с локальным максимумом и глобальным минимумом. Это означает также, что функция F(x\e = 0) является единственным элементом семейства функций F(x\e), для которых dF/dx = 0 на границе (&S:a: = 0) (рис. 17.6).
Аналогичным образом можно исследовать одномерный росток катастрофы Л* : лс*+1 при ограничении х ^ 0. Поскольку универсальная деформация для /4j=x2 с ограничениями одно»
Функция с неограни- Функция с ограничен
ченным аргументом нием х О
Рис. 17.6.
а — деформация функции при отсутствии ограничений на переменные не вносит качественных изменений в свойства последней; б —деформация структурно неустойчивой функции при наличии ограничений на переменные может качественно изменить свойства последней.
f \ ш=0
/
а
Рис. 17.7. Локальные экстремумы и стационарные точки катастрофы F (х; a, b) = -д- х3 + — ах2 + Ъх при наличиц ограничений на х в пространстве R1 ® R2 (х — а — Ь).
Плоскость х «= 0 дает локальные экстремумы при всех значениях управляющих парамет* ров а, Ь. Числа на плоскости управляющих параметров показывают число критические Трче*с, в том чцсле локальных условных максимумов н минимумов функции.
102
Глава 17
мерна, можно ожидать, что для универсальных деформаций число управляющих параметров в задаче с ограничением (х ^ ^ 0) будет на единицу больше, чем в задаче без ограничений. Нетрудно понять, почему это так. В случае без ограничений от члена хк в деформации функции Л*=xk+l можно легко избавиться простым сдвигом начала координат. При наличии ограничений луч, определяющий допустимую область, «неоднороден» (при сдвиге начала, например, он «выглядит иначе»), поэтому положение начала координат — это еще один необходимый управляющий параметр. Семейство катастроф Ак с ограничениями имеет вид
Ak : xk+1 + ZalX}> (17.11)
/=i
бифуркационное множество катастрофы А2 с ограничениями показано на рис. 17.7.
Рассуждения аналогичны и в случае многих (п>1) переменных состояния. Предположим для удобства, что S — замыкание некоторого «хорошего» простого связного открытого множества и что dS — гладкое (п—1)-мерное многообразие. Необходимое и достаточное условие минимума, максимума или стационарной точки F внутри S есть VF — 0. Внутри S не происходит ничего нового, и катастрофы, которые мы изучали до сих пор, можно считать внутренними катастрофами. Новые явления возникают именно на границе множества S. Такие катастрофы в противоположность внутренним можно назвать внешними или граничными катастрофами. Эти структурно неустойчивые функции обладают тем свойством, что S?F = 0 в некоторой точке dS. Поскольку 0S по предположению является гладким (ft —1) -мерным многообразием, х2, ..., хп можно выбрать в качестве координат на dS и рассматривать х\ как ограниченную координату, наложив на нее ограничение Xi ^ 0. Иными словами, Xi < 0 лежит вне S, Xi — 0 — на dS и X] > 0 — в S — dS. Ка-Таблица 17.3. Катастрофы с ограничениями [7, 8]
1 k Росток Возмущение
1 1 ± X2 ах
1 2 ± х3 ах2 + Ъх
2 2 ху ± у3 ах + by
1 3 ± X* ах3 + Ьх2 + сх
2 3 ± (ху + у4) ах+Ьу+ су2
2 3 ± (X2 + У3) ах+ by + сху
За пределами элементарной теории катастроф
103
тастрофы с ограничениями, обладающие универсальными деформациями небольшой размерности, проанализировали авторы работы [7]. Некоторые из их результатов приведены в табл. 17.3 [8].
ООО Часто переменные состояния некоторой системы должны быть неотрицательными. Примерами являются растяжение (физика и техника), химическая концентрация (химия), плотность популяции (экология) и т. д. Когда вводятся такие ограничения, то для анализа качественного поведения системы необходимо изучение как внутренних (табл. 2.2), так и граничных (табл. 17.3) катастроф.
