Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Р (х, У) -> РтУ + р20х2 + р2\Х2у,
(17.81)
-> Р2Г2 + /V4 + Р&Г6.
(17.8iv)
4 Зак. 811
98
Глава 17
катастроф применительно к симметризованной функции (17.9) позволяет (1) расположить коэффициенты Fpl ... pi ... в убывающем порядке и выбрать k управляющих параметров так, чтобы первые k ненулевых коэффициентов ряда Тейлора обратились в нуль; (2) найти гладкое преобразование переменных, сохраняющее симметрию и удаляющее «наибольшее число» членов высших порядков. Полученная функция будет ростком функции F(x;c), инвариантным относительно группы симметрий G. При этом универсальная деформация будет содержать члены, первоначально обращенные в нуль соответствующим выбором управлений, и любые члены ростка, умноженные на модуль (такие члены в (17.8 И) и (17.8 iii) подчеркнуты).
000 Если предполагается, что F(x;c) инвариантна относи-
тельно группы симметрий G (действующей в начале) и что F(x\c) имеет минимумы (но х = 0 минимумом не является), то существует несколько значений i°gR", в которых F(x\c) достигает минимума. Более того, группа инвариантности F(x;c) около х° является подгруппой группы G. В л:0 матрица устойчивости F может быть вырожденной, а может и не быть. Для иллюстрации этих соображений рассмотрим функцию F(x\ с) п действительных переменных состояния Х\.......хп, инвариантную относитель-
но действительной ортогональной группы 50 (п). Тогда разложение F(x\c) в ряд Тейлора в окрестности точки OgR" имеет вид
F (х; с) = const + F2r2 + F4r4 -f F6r6 -f ...,
где r2 = x\ -f ... -f xl-
При F2 — 0 система претерпевает фазовый переход второго рода, если F* > 0, и переход нулевого рода, если F$ < 0, a F& >
> 0. Если Fi > 0 и Fe = Fa = ... = 0, то F имеет минимум при
г2 = — -щ- > 0 для F2 < О,
-W7’c)=-4r<0’
который не является единственным, поскольку F принимает одинаковые значения во всех точках, находящихся на расстоянии (—F2/2Fi)]/2 от начала координат. Если зафиксировать точку х°=(0, ..., О, г), то F(x;c) будет инвариантна относительно
1 руппы вращений SO(n—1), действующей на первые (п—1)
координат хх......Матрица устойчивости функции F, вы-
численная в л:0 (или в любой эквивалентной точке), имеет единичный ранг: одно собственное значение положительно, К =
— —4F2 > 0, а остальные п—1 равны нулю. Такое понижение симметрии при переходе от единственного минимума в OeR"
За пределами элементарной теории катастроф
99
Рис. Т7.5. Потенциальная функция V — х2 + у2 обладает симметрией 0(2) относительно точки минимума (х, у) — (0, 0). Потенциальная функция V = — (х2 + </2) + (*2 + у2)2 также обладает симметрией 0(2) относительно начала. Однако относительно любого другого минимума (например^хо, У о) = =(l/V2,0)) она обладает только симметрией отраженияО (1): (l/V2+dx, бу)-> -»-(l/V2+ Ьх, — 6 у).
к неединственному минимуму в гФО иногда называют спонтанным нарушением симметрии. Для случая п — 2 это понятие иллюстрируется на рис. 17.5, где парой группа — подгруппа являются 0(2) и 0(1) (включая отражения).
ООО Большинство физиков (за исключением специалистов по физике твердого тела), к сожалению, в течение длительного времени (1929—1959 гг.) избегали такого мощного математического аппарата, как теория групп. Когда важность этой теории, наконец, стала очевидной, за нее ухватились с такой страстью, как будто пытались наверстать упущенное. Теперь многие физики, в особенности занимающиеся элементарными частицами, используют теорию групп как основной инструмент аналитического исследования. Именно последнее обстоятельство послужило поводом для столь бурного обсуждения «спонтанного нарушения симметрии». Однако в нарушении симметрии нет ничего спонтанного: оно лишь следствие неведомых пока динамических свойств или действия какого-то вариационного принципа. За словом «спонтанный», как за дымовой завесой, скрывают полное незнание математического аппарата для исследования нелинейных эффектов, который в конце концов и дает описание наблюдаемых физических процессов. Именно этот аппарат является центральным элементом в анализе данных явлений. Наличие симметрии обусловливает возможность появления катастроф высших порядков за счет уменьшения числа управляющих параметров. Аналогичное значение могут иметь различные симметрии для данной нелинейной динамической системы. Можно сказать, что нелинейному математическому аппарату принадлежит центральная роль, а симметрии — второстепенная. Симметрия и существует только для того, чтобы ее нарушать. Представление о «спонтанном нарушении симметрии» как о движущей силе некоторого физического процесса означает полное непонимание Сущности последнего.
4»
100
Глава 17
5. КАТАСТРОФЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
До сих пор мы пытались найти состояние физической системы, минимизируя некоторую потенциальную функцию. При этом неявно предполагалось, что эта функция определена на всем пространстве R". Если это так, то уУ = 0 является необходимым условием существования минимума. Однако это уже не так, если потенциальная функция V определена лишь на замкнутом подмножестве SgR". Равенство W — 0 является необходимым и достаточным условием локального максимума, минимума или другой стационарной точки лишь во внутренности S — dS, где dS — граница S [dS = S f| (Rra — 5)]. Вместе с тем условие уУ = не является ни необходимым, ни достаточным условием локального максимума или минимума на границе dS. На самом деле условие у У = 0 в некоторой точке на dS даже не является структурно устойчивым и при деформации нарушается.
