Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 39

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 109 >> Следующая


F (х, у; с) — Fоо + FiBx2 + F02y2 + F^x* + .... (17.51)

Поскольку d'’+?/7/dxPd//‘' «= Fpq — (—)pfp„ все коэффициенты Fpq с нечетным р должны быть равны нулю; Foi также равно нулю, поскольку начало системы координат является критической точкой.

Пример 2. F(x,y;c) не меняется при замене х-»-±лг и у-+±у. При

наложении таких ограничений симметрии Fpq ( )PFpq --------- (— )QFpд -

*= (— y+qFPQ, поэтому все коэффициенты с нечетными р или q должны быть равны нулю, и

F (х, у\ с) = Foo + Foiy + F20x2 + F02y2 + F2\X2y + .... (17.5H)

Пример 3. F(x,y;c) инвариантна относительно восьмиэлемэнтной группы C4t), состоящей из отражений относительно прямых х — 0, у = О, х = у, х — —у и вращений на я/2, я, Зя/2, 2я = 0 рад. (Вращения порождаются парой отражений.) Из инвариантности относительно отражений от прямых х = 0, у = 0 вытекают ограничения, обсуждавшиеся выше (разд. 2). Инва-
96

Глава 17

риантность относительно отражений от прямой х —- у налагает дополнительное ограничение Fpq = Fqp, поэтому разложение F(x,y;c) в ряд Тейлора теперь имеет вид

F (х, у; с) = Foo + F2o (х2 + у2) + Ft0 (х4 + у4) + F22x2y2 + .... (17.5Ш)

Пример 4. F(x,y;c) инвариантна относительно группы вращений:

(F(x', i/';c) = F(x, iг, с).

где

(х'\ ( cos 0 Sin0\/;t\

Vf/V~V — sin 0 cos 0/ \f// ‘

Тогда F является функцией только одного инварианта (г2 = х2 + у2) группы вращений и

F (х, у, с) = F0 + F2r2 + Ftr*. (17.5iv)

В каждом из приведенных рядов коэффициенты ряда Тейлора являются функциями k управляющих параметров с, хотя это явно не указывалось. Теперь с помощью методов, описанных в гл. 3 и 4, для всех типов ограничений симметрии можно изучать канонические формы и универсальные деформации функций F{х, у, с).

1. Влияние управляющих параметров. Вообще говоря, k управляющих параметров с можно выбрать таким образом, чтобы главные члены ряда Тейлора стали равны нулю. Если k = 3, главные члены разложения F{х, у; с) в ряд Тейлора (константы опущены) в соответствии с (17.5 i) — (17.5 iv) имеют вид

F (х, У, с) (0) + F03y3 + V + • • •, (17.6)

у (0) + F4ax4 + F22x2y2 + F04y4 + ...,

(0) + Fm (*6 + У6) + Fi2x2y2 (x2 + y2) + • • •, -^(0 ) + /V8+ ....

В случае (I7.5ii) один из трех квадратичных коэффициентов также может быть сделан равным нулю. Результаты, описанные ниже, зависят от того, равен ли нулю член F4o или F22. В (17.6) члены, заключенные в скобки и помеченные индексом 0, могут быть сделаны равными нулю соответствующим выбором трех управляющих параметров.

2. Влияние плавного изменения переменных. Определим, от каких членов высшего порядка можно избавиться с помощью нелинейного преобразования, сохраняющего симметрию, и от каких нельзя. Члены, от которых нельзя избавиться, образуют росток ft-параметрического семейства F(x,y;c). Эти симметри-зованные ростки могут зависеть от модулей. Для четырех случаев, рассмотренных выше, можно построить гладкое преобразование, сохраняющее симметрию и приводящее функции из-
За пределами элементарной теории катастроф

97

(17.6) к следующим каноническим формам:

F (х, y;c) = F (х', у'; с) = у'3 ± х'4 =

(17.7i)

<±х'6 + ах'2у'2±у'\ F 4о = 0,

t± xri ±у'\ F22 = 0,

{

(17.7iv)

3. Универсальные деформации. После того как с помощью гладкого преобразования переменных функции (17.6) приведены к каноническому виду, желательно найти наиболее общую деформацию получившегося ростка. Если введенная группа симметрий достаточно велика, то универсальная деформация состоит точно из тех членов в (17.6), которые были сделаны равными нулю соответствующим выбором управляющих параметров. Если группа симметрий'настолько мала, что при изменении начала системы координат симметрия сохраняется, то в деформацию могут входить линейные члены. Таким образом, в четырех случаях [(17.5) и (17.6)] универсальные деформации имеют вид

(р20х2 + р02у2 + р22х2у2 + pi0x4, Fi0 = 0,

~> W*2 + Р02У2 + Р22*2У2, F22 = О, (17.8li)

-> Р20 (х2 + У2) + р40 (*4 + У4) + р22*2У2 + РиХ2у2 {х2 + У2),

(17.8Ш)

Аналогичная процедура используется и в общем случае. Предположим, что F есть ^-параметрическое семейство функций п переменных состояния и что F должно быть инвариантно относительно некоторой группы симметрий G, действующей в Rn. Пусть фх(дс), у2(х), ..., ф,-(дс), ... — однородные неприводимые инвариантные многочлены на R" относительно G, и пусть ф<(дс) имеет степень di. Полное множество однородных инвариантных многочленов ф;(л:) можно найти, анализируя характеры, как это было сделано в гл. 11. Тогда разложение F(x;c) имеет вид

где коэффициент Fp 1 ... р1- ... ряда Тейлора есть коэффициент при члене степени p\d\ + ... + Pidi + • • •, инвариантном относительно G. Будем считать, что G не имеет линейных инвариантов, т. е. OgR" является критической точкой. Тогда элементарная теория
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed