Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
ООО Похоже, что конечные особенные последовательности m-модальных ростков играют роль «буферов» между бесконечными последовательностями m-модальных ростков и (т + + 1)-модальной последовательностью. Пограничные ростки бесконечных (т1)-модальных последовательностей присоединяются к последним членам конечных (особенных) т-модаль-ных семейств, а нижний элемент конечной особенной последовательности к члену, лежащему рядом с границей (но не на границе) бесконечной последовательности той же модальности. Схематически это изображено на рис. 17.3.
ООО Тот факт, что катастрофы с fe>5 можно классифицировать и приводить к каноническому виду (modulo moduli), открывает широкие перспективы исследования этих последовательностей и семейств катастроф более высокого порядка. Однако подобные исследования представляют интерес скорее с теоретической, чем с практической точки зрения.
2. п -*¦ оо
Результаты, описанные в гл. 2, справедливы для типичных семейств функций, определенных в конечномерных пространствах состояний (п<оо). Естественно возникает вопрос: можно ли распространить эти результаты на случай п-у оо?
Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего необходимо дать определение матрицы устойчивости в терминах симметрических операторов в гильбертовых или банаховых пространствах. Направления, соответствующие нулевым собственным значениям п X n-матрицы устойчивости, порождают ядро (нуль-пространство) матрицы устойчивости в конечномерном пространстве. «Плохие» направления принадлежат ядру симметрического оператора. Если ядро конечномерно и нулевые собственные значения симметрического оператора отделены от нуля, то задача, по существу, становится конечномерной, и поэтому не возникает никаких неожиданностей.
В случае, когда ядро бесконечномерно, размерность пространства управляющих параметров также должна быть бесконечной. Пока еще неизвестно, каков вид канонической формы отображения, производная которого является симметричным оператором устойчивости (если такая форма вообще существует).
94
Глава 17
В случае конечномерного пространства состояний ненуле* вые собственные значения оператора устойчивости обязательно отделены от нуля, поскольку число собственных значений конечно. В беконечномерном случае это уже не обязательно так, поэтому можно ожидать возникновения новых явлений, сопровождающихся потерей устойчивости. Физический смысл всех возможных явлений такого рода пока еще не ясен.
3. т> 1
Перенос идей и методов теории катастроф, развитых для функций (т = 1), на случай отображений (т>1), по-видимому, потребует совершенно нового подхода, в корне отличающегося от описанного в частях I и IV.
В гл. 5 было показано, что структурно устойчивые функции образуют плотное множество в пространстве всех отображений типа Rn->R‘. В результате любую функцию можно сколь угодно близко аппроксимировать структурно устойчивыми функциями. К сожалению, в случае отображений F: R"->Rm такое утверждение неверно. В самом деле, если F — отображение многообразия X в многообразие У, т. е. X—*У, то множество структурно устойчивых отображений F: X -> У не плотно в множестве всех таких отображений, если размерности п, т много-
n=dimX
Рис. 17.4. Устойчивые отображения F: Rn-*-Rm не образуют плотного множества, если размерности (п, т) принадлежат заштрихованной области с гра> ницей [6].
За пределами элементарной теории катастроф
образий X, Y лежат внутри области или на ее границе (заштрихованная область на рис. 17.4).
В случае т = п ^-параметрическое семейство отображений можно идентифицировать с автономными динамическими системами (гл. 19).
00 0 Обобщения теории катастроф в трех указанных направлениях могли бы привести к выработке каких-то разумных концепций, на основе которых можно было бы не только задавать вопросы, связанные, скажем, со «стягиванием волновой функции» в квантовой механике, но и отвечать на них. Таким образом, подобное обобщение теории катастроф могло бы помочь заняться проблемами, которые пока приходится считать чисто философскими.
4. СИММЕТРИЗОВАННЫЕ КАТАСТРОФЫ
До сих пор рассматривались только «типичные» функций или семейства функций, т. е. «находящиеся в общем положении». Это означает, что члены ряда Тейлора при разложении функции в окрестности любой точки независимы и что на них не накладывается никаких органичений. Если на систему наложены какие-либо ограничения симметрии, то они проявятся в виде ограничений на члены ряда Тейлора при разложении потенциальной функции в ряд в окрестности некоторой точки.
Попытаемся распространить теорию катастроф на класс симметричных функций. Для этого рассмотрим функцию F(x, у, с) двух переменных состояния (х,у) и k управляющих параметров с е R*; будем предполагать, что F имеет критическую точку в начале системы координат, и рассмотрим отдельно влияние четырех различных органичений симметрии на разложение в ряд Тейлора.
Пример 1. F(x,y;c) не меняется при замене х-+±х. Ряд Тейлора может содержать только четные степени х:
