Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
7*з,з»з = *3 + У3 + Z3 + axyz, (|-)3 ф — 1,
Т2,ы = х2 + у* + г* + ау222, (j)V + 1, (17.3)
^2,3,6 = ^ + у3 + z* + ayh2, (-|)3 Ф — ( — у)2-
90
Глава 1?
Первый из этих ростков содержит три переменные состояния, а остальные два — только две «плохие» переменные состояния.
Кроме единственной бесконечной последовательности (17.2) имеются 14 особенных одномодальных семейств (табл. 17.2), входящих в шесть конечных последовательностей, содержащих один член (?/), два члена (S, W) или три члена (Q, S, U). Три унимодулярных семейства (Е, Z, W) включают две переменные состояния, а остальные три (Q, S, U)—три переменные состояния.
Таблица 17.2. Шесть особенных последовательностей, содержащих 14 особенных семейств функций
m = 1 m=2, a=a0 + aiy
/- 2 Zu x3y + y5 + axy4 x3y + У3 -f ад:y6
x3y + xy4 + ax2y3 Zi& x3y + xy6 + а у9
Z,3 x3y + ye + axy5 Z\ 9 x3y + У9 + zxi17
Wu x4 + ys + ахгу3 wif x4 + xy5 + а у7
W» x4 + xy4 + aye WXs x4 + у7 + ад:2у4
?l2 x3 + У7 + axy3 Eis X3 + у'° + ьху7
?13 x3 + xys + ay8 Eis х3 + ху7 + а у3
Ец x3 + У8 + axy3 E20 х3 + у3 + а ху3
/ --- 3 Q io x3 + У* + yz2 + axy3 Qis х3 + yz2 + У7 + а ху*
Qu x3 + y2z + xz3 + azs Qir х3 + yz2 + xiIs + а у3
Ql2 x3 + </5 + yz2 + axy4 Qis х3 + yz2 + У3 + адсу3
Su x4 + y2z + xz2 + ax3z Si. x2z + yz2 + xi14 + а у3
Sl2 xzy + y2z + xz3 + at5 Su x2z + yz2 + ув + &zy4
V\2 x3 + y3 + 24 + axyz2 Uu х3 + xz2 + у5 + адс2у2
Как и в случае нуль-модальных катастроф, одномодальные катастрофы отбрасывают одномерные кривые катастроф с числом управляющих параметров, уменьшенным на единицу. Для бесконечной последовательности получаем простую диаграмму:
Т
1 Р-Ч-г
/\\
Tp-l,q,r Т р,ц- 1,г Тр'Ч'Г_ I (17.4)
которую, если необходимо, можно достроить до трехмерной диаграммы. Конечными точками диаграмм такого типа являются «пограничные ростки» (17.3). На рис. 17.1 изображены диа-
За пределами элементарной теории катастроф
91
Рис. 17.1. Четырнадцать одномодальных и двухмодальных особенных ростков соединяются в пирамиды.
¦ т237 ¦+— е12 ¦*— *13 ¦*— *14 -*— М
—> Т2«Ч —> <ЕТ) t
т2«5 ¦*— *11 ¦*-Z12-«— *13 (I)
л t t
—Т2И "— *11-*““ *13“"—----------------W4
T33J---> (Е«)
\
I 010-*--- «11
---*¦ ТЭ34 --- f
f
1 I T
---> тМ4-«--- *11 ¦*--- *12
f f
1 I
uu---
\
IQ)
-(«)
-(*)
-мг
Рис. 17.2. Диаграммы смежности для некоторых унимодулярных особенных ростков.
92
Глава 17
Рис. 17.3. Особенные ростки модальности т служат «буферами» между бесконечными семействами m-модальных и (т + 1)-модальных ростков [3].
граммы для шести особенных последовательностей, содержащих 14 особенных одномодальных семейств.
Первый элемент каждой последовательности особенных одномодальных катастроф соединяется с некоторым членом бесконечной последовательности Тр> q> г (рис. 17.2). Из рис. 17.2 ясно, что особенные ростки близки к пограничным росткам (17.3). Далее одномодальные пограничные ростки соединяются с нуль-модальными особенными ростками (рис. 7.7). Последний член каждой последовательности особенных одномодальных катастроф получается из ростка катастрофы, который еще не встречался. Ростки, приходящие справа (/, Z, W, Q, S, U), двухмодальны, ростки N, V трехмодальны, а росток 0 пятимодальный.
3. т = 2[5]. В двухмодальном случае есть восемь бесконечных последовательностей и шесть особенных конечных последовательностей, содержащих в совокупности 14 семейств ростков. Ростки особенных семейств приведены в табл. 17.2, а диаграмма соединений для них дана на рис. 17.1. Четыре из восьми бесконечных последовательностей (/, Z, W, W#) включают две переменные состояния, а остальные четыре (Q, S, S#, U)—три переменные состояния.
Эти восемь бесконечных последовательностей определяются уравнениями, аналогичными (17.1), с заменой а->-а(а0 + а\у) и а0 ф 0. Каждый член последовательности соединяется с ближайшим «левым» членом этой последовательности и с членами
За пределами элементарной теории катастроф
93
некоторых других семейств (как, например, Dц+i ->Ац). В каждой из восьми бесконечных последовательностей имеется пограничный росток. Пограничные ростки для W и W# совпадают, как и для 5 и S#. Шесть двухмодальных пограничных ростков соединяются с шестью крайними правыми семействами шести конечных особенных одномодальных последовательностей (рис. 17.2).
