Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
ду
•^-(Ас-е,) = { }2 (ф sin 0) = 0. (15.576)
Эти уравнения всегда имеют решение 0 = 0, соответствующее тому, что все нуклоны находятся в основном состоянии (zi = 1, zk — 0, &>0). Такое состояние всегда является локальным минимумом, и в этом минимуме he — ei.
Если (15.57а) выполняется, то может существовать другое решение при 0 = я. Для этого требуется, чтобы
{ }l = Aj-Ai-\Vli\(l-2?/)sin24-0 = O, (15.58а)
откуда у — — — [(е; — е;)/2 | V ц 1 ]. Поскольку 0 < у ^ 1, эта
критическая точка может существовать только тогда, когда |У/;|>Д/ — Д; = е/ — ег. Она также является локальным минимумом, в котором
hc ~ е, = ^ <Л/ + Аг) - 11 У/г I - (А/ - A г)2. (15.59а)
Этот локальный минимум имеет критическое значение еь когда VI Уп I == л/А/ + л/Af. Фазовый переход первого рода основного состояния происходит, когда \Vji\, возрастая, переходит через (л/А/ + л/Аг)2. При таком фазовом переходе параметр порядка х\ перескакивает с +1 в 0, а остальные параметры изменяются следующим образом:
х2: 0 -» , х2: 0 -> ¦ (15.60)
л/д/ + VAi 7 Уд/ +
Третье решение существует при 0 ф 0, 0 ф я, если можно одновременно удовлетворить равенствам (15.57а) и (15.576). Кроме (15.58а), для этого требуется
{ Ь = А/i/ + А* (1 — у) — 2\V ц\ у (\ — у) sin2 4 0 = 0. (15.586)
Квантовая механика
25
Рис. 15.2. Форма hc (15.56) при Т = 0 для многоуровневого гамильтониана МГЛ.
Здесь х^, Xj—соответствующие параметры порядка, г = (г• — ei)/(еу—ei)=0A и в квадрупольном взаимодействии Уц участвуют два возбужденных уровня. Показан лишь квадрант 0< 0 < я, Фазовый переход первого рода происходит прн Уц = 3,59. а — V tt~ -= 2,5; б - У ц - 3,59; в - Уц - 6.
Уравнения (15.58а) и (15.586) одновременно удовлетворяются следующим образом:
Д, „ 1 Д,- ~ Д;
У = sin2Ye = -y-^<l. (15.596)
i~ i | а I
Это решение является седлом, разделяющим локальные минимумы в 0 = 0 и 0 = я. В этой критической точке hc — ei = = A/A//I У/г|.
Основное энергетическое состояние системы с ростом константы | ]/ц\ ведет себя следующим образом. При | V/,|< е/ — е,-имеется только один минимум в 0 = 0. Когда | Уц \ — е/ — е,-, в точке 0 = я возникает вырожденная критическая точка катастрофы складки. С ростом \ Уц\ эта вырожденная критическая точка расщепляется в седло при 0 =/= я и локальный минимум при 0 = я. Этот локальный минимум остается метастабильным до тех пор, пока | У/(-1 = (дМ/+ дМг)2. При дальнейшем возрастании | V/г | происходит фазовый переход первого рода. Логарифм времени туннелирования от метастабильного к устойчивому минимуму пропорционален высоте A;A,/| У/,| разделяющего их седлового барьера.
На рис. 15.2 показана функция hc для трех значений константы ]/ц при фиксированных значениях энергетических уровней е*.
26
Глава 15
5.4. Расширенные модели Дикке
Гамильтониан hQ для расширенных моделей Дикке и его классический предел hc имеют вид
Критические точки функции hc легче всего найти, исключив из
(15.61) параметры порядка для фотона р, р*, воспользовавшись соотношением
Эта редуцированная функция идентична классической функции (15.51) (которая описывает критические свойства основного состояния для расширения гамильтонианов МГЛ), если положить
В результате туннельные инвариантности и критические свойства этих моделей изоморфны. Имеет место взаимно-однозначное соответствие между состояниями поляризации /V-нуклонной системы и атомарной подсистемы системы атом — поле. Квантовое состояние поля можно построить в соответствии с табл. 15.2.
То, что должна существовать какая-то связь между, этими двумя моделями, уже не удивляет, если вспомнить рассуждения на стр. 22. В расширенной модели Дикке атомы взаимодействуют между собой только через поле. Поляризация атома действует как классический источник, воздействующий на поле, которое в свою очередь переносит эту информацию другим атомарным подсистемам посредством взаимодействия атом — поле. Поле как промежуточное звено с успехом можно заменить
1 <<</
+ Комплексно сопряженный член. (15.616)
(15.62)
В результате получаем функцию
(15.63)
i=i 1 <i<i
(15.64)
Квантовая механика
27
атомными операторами в предельном случае больших N. Следующие нестрогие рассуждения делают это утверждение по крайней мере правдоподобным. Прежде всего,
= Ноц -?jir + Я.д ~ 0. (15.65)
e(a|,/VJV) 1 т/N tl\Nj ’
Знак означает, что этот оператор, действуя на прямое произведение состояний | tfia) ® | f>, становится сколь угодно малым по мере приближения данного прямого произведения к основному энергетическому уровню (/V->-oo). Можно воспользоваться этим соотношением между атомными и полевыми операторами для исключения операторов поля из hq в (15.61а). Это приводит к равенству