Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Потенциальная функция, описывающая градиентную систему, известна, но очень сложна. Локальная структура этой функции в вырожденной критической точке может быть однозначным образом определена посредством элементарных рас-суждений.
3. Потенциальная функция, описывающая градиентную систему, не известна. Знание модальности, местонахождения фазовых переходов и тензоров восприимчивости может оказаться вполне достаточном для определения вырожденных критических точек. Качественные изменения в поведении рассматриваемой системы описываются встречаемыми вырожденными критическими точками.
4. Система не является градиентной системой. Такая система тем не менее может иметь состояние равновесия или устойчивые состояния, тесно связанные с элементарными катастрофами. Это имеет место, если нелинейные уравнения, описывающие состояние равновесия (уравнения состояния), содержат множители, не являющиеся градиентами элементарных катастроф.
5. Уравнения, описывающие систему, не известны. Если пространственные вариации или эволюция во времени являются медленными, то существование кратных локально устойчивых мод может означать, что поведение системы можно качественно или даже полуколичественно описать с помощью одной из функций теории катастроф. Это значительно расширяет возможности исследователя вплоть до получения им обоснования догадки об уравнениях, описывающих систему.
6. Относительная важность переменных не известна. В этом случае не известны и уравнения, описывающие систему. Если существует предельная модальность, то всего лишь небольшое число (одна, две или три) функций переменных состояния, описывающих систему, фактически приводят к изменению состояния системы. Эти функции могут быть получены из их линеаризованной формы в вырожденной критической точке. Когда это сделано, можно считать, что качественно поведение системы в окрестности таких точек достаточно хорошо определено.
В ч. II настоящей книги были проиллюстрированы возможности применения теории катастроф на разных уровнях полезности: термодинамика (уровни 1 и 5), теория упругости (уровни 1—3), аэродинамика (уровень 4), волновая механика (уровни
1 и 4), квантовая механика (уровни 1 и 4) и климатология (уровни 4—6).
276
Послесловие
Нам представляется, что из всех уровней полезности уровень
6 имеет наибольшее отношение к наблюдениям Г. Хилла и программе Пуанкаре. Топологическая динамика и ее побег — теория катастроф — кажутся очень подходящим инструментом для исследования проблем такой сложности, при которой даже трудно определить, с какой стороны к этим проблемам подступиться.
Как уже отмечалось, теория катастроф стимулировала развитие нескольких новых направлений в области математики, которые в ближайшее время, по-видимому, будут продолжать развиваться. Применение теории катастроф может дать наиболее ощутимые результаты в физике и инженерной механике, где методы или результаты теории, вероятно, будут широко внедряться в течение ближайших пяти лет. Проникновение в химию и инженерные дисциплины может потребовать несколько большего времени. Еще больше времени (около 15—20 лет) потребуется для внедрения теории катастроф в биологические и социальные науки. В каждой области теория катастроф может дать новые важные результаты, но особенно полезной она должна быть в области социальных наук.
Принимая во внимание все вышеизложенное, я могу с уверенностью утверждать, что теория катастроф является важной и полезной. На этой уверенности и основана предлагаемая читателю книга. Может быть, некоторые читатели придут к выводу, что теория катастроф заслуживает их внимания, а некоторые сочтут возможным использовать ее в качестве эффективного средства в своих творческих поисках. Я оставляю за читателем право составить собственное мнение по этому вопросу.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономия 2 133—162 Активная интерпретация 2 24 Анализ бифуркаций 2 6
— размерностей I 112 Аномальные изменения 1 187 Антиградиент 1 64, 65; 2 169, 177, 183 Аттрактор I 64, 65; 2 119, 169, 177,
183
— Лоренца 2 185—194
— странный 2 185, 192, 194 Аэродинамика I 281—305
Базисные векторы I 182
-------естественные 1 183
Бассейн 1 61
— притяжения 1 65
Бифуркация Хопфа 2 156, 163, 165— 170, 189, 202
------- докритическая 2 170
-------субкритическая 2 159, 160
------- суперкритическая 2 159, 160
Вариационные принципы 1 216, 234, 306; 2 6 Ветвь 2 117
— вторичная 1 264; 2 119, 120
— критическая I 174
¦— неустойчивая I 245
— нулевая (магистраль, ствол) I
264, 265; 2 117
— первичная I 64; 2 119, 120 Возмущение Pert (I, k) 1 19, 167,176,
189, 330—336; 2 216
— каноническое 1 53, 58 <— линейное 2 167
— медленное 1 234
— универсальное 2 239, 251
Возмущения 1 42—59; 2 143—156
167, 168, 179 Второе начало термодинамики 1 215 Вырожденность 2 106, 339—341 Вырожденные собственные значения
1 33—40
Выпучивание эйлерова стержня 1 243—249
