Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
*/ = (Г%^7- (23-54)
Общий одночлен второй степени также может быть записан в Виде линейной комбинации произведений формы df/dx,- и х,-:
*i*, “ /2 (/г* */) = Пь? (4гх) • (23-55)
Здесь f-'1 обозначает матрицу, обратную матрице f,/. Так как все одночлены второй степени могут быть представлены в виде произведений частных производных df/дхг на п0(х)— 1 или ni(x)=xj, то для функции f(x) нет нужды в деформи-
Определенность и деформация
265
рующих членах. И наконец, пространство Vp/Vd порождается
одночленами xi.......xi, так что простейшая функция, I частных
производных которой порождают это пространство, является просто суммой I квадратичных членов:
К ^9' (23-56>
7.8. Ак
Рассмотрим функции
f(x) = x*+lg(x), (23.57)
где g(x)—гладкая функция, у которой g(0)= 1. Как было показано (пример 2 разд. 4), эта функция является (&+ ^-оп-
ределенной. Деформация f (х) = jk+1f (х) = xk+l также была уже найдена (пример 1 разд. 5). Пространство Vp — (Vd@Vu) порождается хк. Канонический росток представляется простей' шей функцией fcg, первая производная которой пропорциональ-на df/dx — хк. Следовательно,
/=ь/вв-=х*+‘, (23.58)
а все наиболее общие возмущения такие же, как в табл. 2.2,
7.4. Dk
Рассмотрим функцию
f (х, у) = х2у + ук~1. (23.59)
Эта функция является (k—1)-определенной (пример 3 разд. 4), а ее универсальная деформация была построена в примере 3 (разд. 5). Все результаты, касающиеся этой функции, суммированы в табл. 4.1.
7.5. Ев, Ej, Eg
Ростками Ее, Е7, Еа являются
Ев: f (х, у) = х3 + у\
Е?: f (х, у) = х3 + ху3, (23.60)
Es: f (х, у) = х3 + у5.
Правила нахождения определенности и деформации имеют особенно простой вид для Е6 и Ев, так как df/dx и df/dy — одночлены. Эти вычисления суммированы в диаграммах на рис. 23.4,
Глава 23
У ду //26-
У
!/*§-,.з
к
"дх
хг
ха
х1
Ж ^
*?2- Х3
?а
Рис. 23.4. Для Е6 и Eg все одночлены четвертой и пятой степени могут быть представлены в виде (dffdxt)mj.
Члены деформации изображены светлыми кружочками; исключен лишь постоянный член.
.А
\
\
/
/
/
/"?\ /*? \ V V '
/'1\ /**\
X
\
\
\
\
ez\
\
f2\
Рис. 23.5. Диаграммное представление многочлена Е7 = х* + ху3, у которого
df/dy — одночлен, a df/dx — нет.
Диаграммный метод может быть использован, даже если df/dx и df/dy не являются одночленами. Пары одночленов, возникающих из (dftdx)rij — (*а + Уъ)п^ в алгоритме вычисления деформации, отмечены одинаковыми буквами.
Проведение этих правил нахождения определенности и деформации для Е7 не является столь простым, так как df/dx = = х3 + у3 не одночлен. Несмотря на это, они и не столь сложны и даже могут быть представлены в виде диаграмм, изображенных на рис. 23.5. Так как одночлены b%, di, в%, ... встречаются в тени df/dy — ху2, то одночлены b\, d\, в\, ... могут быть представлены в виде линейных комбинаций Si/(x). Аналогично, так как /ь ... встречаются в этой же тени, то f2, ... могут быть также представлены в виде линейных комбинаций Sij(x). Все
Определенность и деформация
267
одночлены в тени Ь\ (включая и сам Ь\), в тени /2 (включая /2) и в тени ху2 (исключая ху2) могут быть представлены в виде линейных комбинаций Rn(x). Все многочлены пятой степени могут быть представлены аналогично, так что росток Е7 является 4-определенным.
Деформация Ё1 должна включать как одночлены х, у, ху, у2, так и линейные комбинации а\ и а2, линейно независимые от а\ + а2, и линейные комбинации сi и с2, линейно независимые от Ci + с2. Универсальная деформация Е7 (не единственная) приведена в табл. 4.1.
7.6. Кратные сборки
Наиболее общий вид нарушений, встречаемых в одноэлементных структурных инженерных проблемах, принадлежит к катастрофам типа сборки. Сложная система может быть композицией нескольких структурных элементов, каждый из которых может отказать при некоторой нагрузке по катастрофе сборки. В современной инженерной практике стало привычным делом проектирование систем таким образом, чтобы все виды нарушений наступали при одном и том же нагружении. Если существуют I видов нарушений, то соответствующим ростком катастрофы при этом значении нагрузки является
i
f(xlt ..., VI- ^#0. (23.61)
Особенно важно поэтому знать чувствительность к несовершенству кратных ростков катастроф сборки. Это значит, что важно знать наиболее общие возмущения ростка катастрофы (23.61). Такое возмущение легко построить с помощью следующих правил нахождения определенности и деформации.