Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Этот алгоритм «лежит» на стыке двух конкурирующих математических процессов (гл. 3 и 4): с одной стороны, использование управляющих параметров в семействе функций для исключения некоторых начальных членов разложения в ряд Тейлора в критической точке, а с другой стороны, замена переменных для исключения последних членов («хвоста» разложения). Эти два конкурирующих процесса «встречаются посередине» в ростке катастрофы. Вышеприведенный алгоритм как раз и описывает механизм построения ростка.
Пример 1. Найти канонический (простейший) росток fcg, связанный с функцией / (х, у) == х2у + у3/3 + у2/2.
Решение. Интересующая нас функция (с точностью до изменения шкалы) уже встречалась в (5.36).
Шаг 1. Определенность / (х, у) вычисляется при помощи перечисления всех одночленов 1; х, у; х2, ... и всех (р + 1)-струй Я,, (табл. 23.2). В таблице перечислены все члены степени не выше пятой, которые возникают в алгоритме вычисления определенности; одночлены пятой степени очерчены штриховым прямоугольником. Заманчиво предположить, что функция f(x,y) является 3-определенной. Действительно, все одночлены четвертой степени (х3у, х2у2, ху3, у*) встречаются в таблице или могут быть представлены как линейные комбинации функций, представленных в таблице:
х4 = R23 — Рч — ^11.
Однако напомним, что алгоритм определенности не является алгоритмом типа «тогда и только тогда». Если бы f(x,y) являлась 3-определенной, то все одночлены четвертой степени можно было бы выразить как линейные комбинации Rn, однако факт, что это возможно сделать, не гарантирует нам, что функция / является 3-определенной, поскольку один из этих одночленов (jc4) требует одночлена ntj степени 1. Утверждение «тогда и только тогда» может быть использовано для доказательства, что f(x,y) является 4-определенной, так как все члены пятой степени либо непосредственно входят в таблицу (х4у, х3у2, х2у3, ху*, у5), либо могут быть выражены с помощью одночленов тЛх,и) выше второй степени:
,x*~Ru-Ra-Riu
Определенность и деформация
261
Таблица 23.2. Алгоритм нахождения ростка функции
]
«0 1 5|о xy S20 *2 + У2 + У
т{ tii X Ru = 5„ x2y #21 = S21 *3 + xy2 + xy
тг пг У #12 = 5i2 xy2 #22 = S22 X2y + У3 + y2
т3 «3 х2 #13 --- SlS x3y #23 = S23 x4 + X2y2 + x2y
«4 «4 ху #14 --- Sl4 x2y2 #24 = S24 x%y + xy3 + xy2
тъ «5 У2 #15 = ^15 xy3 #25 = ^25 _x2y2_±yl+ Уг
ms «8 х3 #16 = Sia 1 #26 --- S26 j X5 + x3y21 + x3y
\ X У \
ту «7 х2у #17 = S[7 1 x3y21 #27 = S27 j A:*y + x2y31 + Х2уг
те «8 ху2 #18 = S[8 1 x2u3 * #28 = S28 1 x3y2 + xy*, +
\X У I
т<> «9 У3 #19 = S]9 1 xyi 1 #29 --- S29 | *2#3 + У5 j + y*
mi0 «10 *4 Ri, 10 = St, 10 0 #2, 10 = ^2,10 ' \ ^i i
m,i Пц х3у %2, 11 = $2,11 1 x3y2 [
тц «12 х2у2 #2, 12 = ^2,12 j *v 1
т13 «13 ху3 #2, 13 --- ^2,13 • [
т, 4 «14 yi #2, 14 = S2> 14 > !
Щъ «16 #2, 15 --- 52,15 0
¦ 1
ООО Достаточно, но не необходимо работать с полиномом jpf(x). По существу, достаточно работать с любым полиномиальным усечением jpf(x) функции f(x), р' ^ р, где р — определенность функции f(x). Это происходит из-за того, что алгоритм определенности порождает все одночлены степени не меньше р, так что Vp/(Vd^V^ — Vp'frVр). Самое лучшее для нас — работать с линейным векторным пространством Vp наименьшей подходящей размерности. Это случается, когда р' = р, где р — определенность функции f(x).
Поскольку мы до сих пор не знаем, является ли f(x,y) = ¦= х2у + г/3/3. + у2/2 3-определенной или 4-определенной, то мы должны еще поработать с пространством VP' = Vit порожденным одночленами xrys, г + s ^ 4. Это простралство имеет размерность 15. Поэтому, если окажется, что f(x,y) является 3-определенной, то потребуется лишь небольшой объем дополнительной работы при проведении вычислений. Вместе с тем, если f(x,y) 4-определенная, а мы будем работать в Уз, то полученный результат будет неправильным,
262
Глава 23
Рис. 23.2. Пространство Vp, используемое в алгоритме вычисления ростка функции f(x,y), порождается (р+1)(р + 2)/2 одночленами х'у', i + j^p. На рисунке введены следующие обозначения для различных базисных векторов, используемых в различных частях этого алгоритма, на примере исследования функции f (х, у) — хгу + у3/3 + уг/2:
