Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Определенность и деформация 25S
Таблица 23.1. Применение алгоритма вычисления определенности к функции
f (*> У) = у (* + У)2 + 1 3
т, /• [-ir -/] ' № -/]
ш. X х(х + у) х(х + у)-\- ху2
тг У У(х + у) У (х + у) + у3
т3 х1 X2 (х + у) X2 (X + у) + х2у2
ГПц ху ху (х + у) ху (х + у) + ху3
тъ У2 У2 (х + у) У2 {х + у) + У4
ш6 X3 х3 (х + у) х3 (х + у)
mi хгу хгу (х + у) Хгу (х + у)
т6 ху2 ху2 (х + у) ху2 (х + у)
Шэ У3 у3 (х + у) У3 (х + у)
т10 X* 0 0
1
*
Пример 2. Найти определенность /(*)= х”.
Решение. Предположим, что функция л:р!р является р-дпределенной. Тогда df/dx = хр~х и т%-.— х, х2, ... . Вследствие этого имеем
/р+1 {-Ц- т/ { = /р+1 {хР-'т,} = хр, хР+\ 0, ... • (23.31)
А так как xp+l = Я12, то функция хр является р-определенной.
Пример 3. Вычислить определенность f(x, у) = хгу + ур!р.
Решение. Предположим, что функция f(x,y) является р-определенной. Тогда
¦я--2'»’ f м
Используя функции mj(x,y), приведенные в примере 1, легко видеть, что
*Р+1 = /Р+1{т|-*Р-1}, р- 1>2,
xrf = /Р+1 { Y ‘Ir lj/S~1 } ’ r + s = P+l>3. r>u S> 1, (23.33)
Следовательно, функция f(x,y) является р-определенной.
Для случая, когда рассматриваются только функции f(x,y) двух переменных, a df/dx и df/dy являются одночленами, этот алгоритм может быть представлен в следующем систематизи-
256
Глава 23
рованном диаграммном виде [11]. Одночлены 1; х, у; х2, ху и т. д. упорядочиваем в треугольный массив a la Pascal. Тогда df/dx и df/dy соответствуют некоторым точкам в этом треугольнике. Умножение на одночлены trij(x, у) соответствует созданию точки в «тени» частных производных df/dx и df/dy. Эти тени начинаются одной или двумя строками, расположенными ниже этих производных, в зависимости от того, имеются ли члены первой степени от х и у среди т, (х, у) или нет. Взятие (р -)- 1) -струи соответствует игнорированию всех строк ниже (р + 1)-й строки.
Этот метод уже был использован при вычислении определенности ростка
E6:f{x, у) = х3 + у* в разд. 2 [см. (23.12)].
5. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Автор работ [5 -10] предложил также алгоритм определения универсальной деформации функции. Правила для вычисления деформации являются в буквальном смысле дополнением правил нахождения определенности.
Алгоритм требует найти число р — определенность функции f(x) (т. е. скорее можно работать лишь с полиномом f(x) = = jpf(x)). При этом предполагается, что (I)rij(x) — последовательность одночленов от переменных xi,x2, xi степеней 0,1,2, ...:
tij (х)‘. 1; xi, х2, xi\ x2i, xix2, ... (23.34)
и (2) F(x\a) является r-мерной деформацией полинома f(x). Определим многочлены
TlW = -fa-1Р+1р(х’ я)1а=о. (23.35)
Кроме того, должны быть перечислены все многочлены вида
S,/(*) = /"{ Д-«/(*)}• (23.36)
Тогда, если все одночлены степени не больше р могут быть выражены в виде
Любые одночлены степени < р — ? (х) + ? tlTl (х) (23.37)
(где ец, (j — вещественные числа), то это означает, что F(x; а) является версальной деформацией f(x)\ если Т, (х) минимально, то F (х\ а) — универсальная деформация полинома f(x). ООО Полиномы Т,(х) образуют минимальное множество только тогда, когда они линейно независимы.
Определенность и деформация
257
ООО При нахождении канонической линейной (по Tj(x)) формы универсальной деформации полинома f{x)i
F (*; а) = f (х) + ? (х) (23.38)
для определения параметров деформации а/ может быть применена теорема о неявлой функции.
ООО Универсальная деформация функции ]{х) не обязательно единственная (см. примеры 2 и 3 ниже), хотя она и однозначна с точностью до гладкой замены переменных. Списки элементарных катастроф, приводимых различными авторами, могут казаться на первый взгляд совершенно различными, однако все они эквивалентны относительно гладкой замены переменных.
Пример 1. Вычислить универсальную деформацию функции / (х) = хр cos х в окрестности точки х = 0.
Решение. Функция хр(1—х212\ +,...) является р-определенной, так что достаточно исследовать f(x) = xp. Одночлены tij(x) будут следующие:
