Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
отображает F2 в те функции Fs, у которых обязательно с = —Ь213 0. Вме-
сте с тем деформация F3 является версальной, так как при гладкой замене координат
, 1
х-*- х + у а,,
(23.20)
с = а2 — — (а,)2,
Р» (х\ с) = Fx (х; аь а2).
Коэффициенты ез, е2, ео могут быть удалены из возмущения (23.16) путем введения нового масштаба, переноса начала координат по оси х, переноса
начала координат по оси у соответственно. Следовательно, размерность наи-
меньшей деформации функции f(x)=x3, которая может породить семейство функций х3 +(23.16), равна 1, и F3(x; с)—это универсальная деформация f (*)=*?¦
Пример 2. Найти универсальную деформацию неморсовского ростка Es: f(x, у) = х3 + у*.
Решение. Наиболее общее возмущение функции двух переменных имеет вид
Р(х, у) = ? РИх1у!, (23.21)
i>Q, 1>0
где коэффициенты рц будем считать инфинитезимальными величинами порядка 1. Тогда
F (х, у; р) = х3 + у* + ?р(7*У. (23.22)
Большая часть возмущенных членов может быть удалена путем гладкой замены переменных. Чтобы определить, какие из возмущенных членов могут
Определенность и деформация
253
быть удалены, а какие нет, сделаем инфинитезимальную нелинейную замену координат и повторим ход рассужДений:
F (х', ур) = (х3 + У4) + (3*2р* + 4у36у +
+ Z PifW + ° <2>- <23-23)
Ц
В настоящий момент нас интересует вложение ростка f (х, у) в большое семейство F(x,y;p), а не качественное изменение поведения f (х, у) в заданной точке. Вследствие этого инфинитезимальное преобразование в формуле (23.23) может быть неоднородным. Члены, которые могут возникнуть из выражений 3jc26* и 4у36у, лежат в тени на диаграмме вида
1
* 1
Следовательно, нелинейное преобразование может быть выбрано так, чтобы удалить все члены рцх'у1 в возмущении (23.23), которые соответствуют этим членам. Исключая постоянный член, получаем, что универсальная деформация ростка f(x, у) — х3 + у4 имеет размерность 5 и имеет вид
F (х, у, р) = х3 + у4 + р10х + РтУ + рпху + Р02У2 + Pi%xy2. (23.25)
Теперь это выражение можно сопоставлять с каноническим возмущением для Ее, приведенным в табл. 2.2.
4. ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ФУНКЦИЙ
Автор работ [5—10] предложил простой алгоритм определения, является ли функция f(x) конечно определенной, и если является, то насколько разложение этой функции в ряд Тейлора может отражать качественные изменения в ее поведении. Этот алгоритм требует вычислить множество полиномов Rij(x) согласно формуле
Rn (х) = /Р+1 {-^т Ш/ (х) } (23.26)
254
Глава 23
в предположении, что f(x) является р-определенной, а т(х) — последовательность полиномов от переменных Хь х2, ... ,xt степеней 1,2,..
т}(х) = х 1, xr, хи xi Х2, х]\ х3и----- (23.27)
В связи с использованием данного алгоритма возникает вопрос: могут ли все одночлены степени р + 1 быть записаны в виде линейных суперпозиций Rij(x) с постоянными коэффициентами?
Ответ на этот вопрос оказывается положительным не только в том случае, когда }(х) является р-определенной, но и в случае, когда f(x) не является таковой. Объясняется это тем, что теорема, лежащая в основе данного алгоритма, не является теоремой типа «тогда и только тогда».
Алгоритм типа «тогда и только тогда» может быть получен, если заменить инфинитезимальные однородные нелинейные преобразования на инфинитезимальные однородные осесохраняющие нелинейные преобразования. Тогда одночлены m.j(x) будут иметь степени, начиная со второй, и положительный ответ на ранее поставленный вопрос будет означать, что функция /(х) является р-определенной и, может быть, даже (р—1)-определенной.
Пример 1. Вычислить определенность функции
f (•*> У) = у (•* + У)2 + у У3- (23.28)
Решение. Предположим, что р = 3. Тогда
-fjf ^ + у< = + У) + У2’ (23-29)
rtii, m2', гпз, ...=x, у; х2, ху, у2-, х3, и т. д.
Полиномы #,-,(х) приведены в табл. 23.1. Все множество одночленов степени 3 + 1=4 может быть выражено через Яц(х,у) следующим образом:
</4 = #25 —#is,
ху3 = Ru — R\4,
хгуг — #гз — Rn, (23.30)
хъу — Rn — (#23 — #13),
*4 — #26 — {#27 — (#23 — #|3)}.
Так как ни один из членов Rn, появляющихся в (23.30), не содержит одночленов первой степени гп\ — х, т2 = у, то алгоритм типа «тогда и только тогда», связанный с осесохраняющим преобразованием, применим полностью. Следовательно, функция является 3-определенной либо даже 2-определенной. Так как матрица устойчивости f(x,y) в нуле имеет обращающийся в нуль определитель, то функция f(x,y) не может быть 2-определенной.
