Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 92

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 121 >> Следующая


2. Golubitsky М., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities, New York: Springer, 1973. [Имеется перевод: Голубицкий М., ’Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977.5
Трансверсальность

245

3. Abraham R., R.obbin J. Transversal Mappings and Flows, New York: Benjamin, 1967.

4. Zeeman E. C. Catastrophe Theory, Selected Papers 1972—1977, Reading: Addison-Wesley, 1967.

5. Poston Т., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. [Имеется перевод: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — М.: Мир, 1980.]

6. Lu Y-C. Singularity Theory and an Introduction to Catastrophe Theory, New York: Springer, 1976.
23

ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ДЕФОРМАЦИЯ

Качественное описание поведения функции в окрестности некоторой точки пространства R" переменных состояния часто может быть получено путем изучения начального отрезка ее разложения в ряд Тейлора в этой точке1):

f(x)=f (0) + Xtft (0) + -ip xixi!ii (0) + ... . (23.1)

Чтобы определить локальные свойства функции f(x), нет необходимости рассматривать постоянный член разложения (23.1). Более того,

— если Vf ф 0, то качественно поведение функции полностью определяется линейными членами разложения (23.1), т. е. мы не теряем нужной информации ряда при исключении нелинейных членов ряда (23.1);

— если Vf = 0, но det fa ф 0, то качественно поведение функции полностью определяется квадратичными членами разложения (23.1), т. е. мы не теряем необходимой информации при усечении ряда до квадратичных членов;

— если Vf = 0 и det fij = 0, то важное значение приобретают члены более высокой степени, и, по-видимому, качественно поведение функции f(x) будет полностью определяться рядом (23.1), усеченным до членов р-н степени (где р — некоторое конечное число).

Изучение возможностей усечения разложения функции f(x) в ряд Тейлора и определение значения р называется задачей определенности.

В настоящей главе удаление «хвоста» ряда Тейлора осуществляется при помощи гладкой замены переменных. Подобная процедура уже была рассмотрена в гл. 3, однако здесь она значительно упрощается за счет применения лишь инфинитезимальных нелинейных преобразований.

В случае, когда функция принадлежит некоторому семейству функций, начальные члены разложения в ряд Тейлора рассматриваемой функции, естественно, могут обращаться в нуль. Задача определения наиболее общего семейства функций наименьшей размерности, содержащего исходную функцию, называется задачей деформации.

При рассмотрении примеров, иллюстрирующих понятия конечной определенности и деформации, совершенно естественно возникают алгоритмы, позволяющие вычислить определенность и деформацию произвольной функции. Эти два алгоритма, по существу, являются сторонами одного угла; сам же угол — канонический росток катастрофы — представляется членами, которые не порождаются ни в алгоритме определенности, ни в алгоритме деформации. Оба эти алгоритма, а также алгоритмы нахождения ростка функции используются здесь как для решения старых задач новым методом, так и для решения новых задач, а также для получения полного списка продых ростков и их универсальных деформаций. Кроме того, изучаются кратйые ката-

’) Для удобства будем считать точку, в которой берется разложение функции f(x) в ряд Тейлора, началом координат пространства Rn.
Определенность и деформация

247

строфы сборки, которые особенно важны при исследовании причин неудач, имеющих место в оптимизации структур. Показана конечная определенность и найдены универсальные деформации этих ростков.

1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ

Использование такого важного средства, как общая нелинейная замена переменных (3.1), позволило нам дать точные определения эквивалентности (качественной подобности) двух функций, предложить конструктивные доказательства теоремы о неявной функции, леммы Морса и леммы расщепления и определить как ростки, так и возмущения некоторых неморсов-ских функций. Однако выполняемые при этом вычисления оказались слишком громоздкими.

Можно значительно упростить типы вычисления, проводимые при общей нелинейной замене переменных, применяя инфи-нитезимальное, а не конечное нелинейное преобразование. Ин-финитезимальный вариант (3.1) может быть получен заменой всех находящихся в нашем распоряжении конечных параметров А в разложении (3.2) на соответствующие инфинитезимальные эквиваленты:

х\ = xi + 6xi>

1>Х[ = 6Л^ -|- бAijXj -|- 6Л^ jkxixk • • • • (23.2)

Инфинитезимальный аналог преобразований (3.3) может быть получен с помощью очевидных модификаций.

Общее конечное нелинейное координатное преобразование (3.2) может быть получено с помощью достаточно большого числа итераций инфинитезимального преобразования (23.2). Поэтому для решения вопросов, рассмотренных в гл. 3 и 4, могут быть использованы как конечные, так и инфинитезимальные преобразования. Последние позволяют легко и непосредственно получить алгоритмы для вычисления определенности произвольной функции и ее деформации.
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed