Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
устойчивым образом, а коэффициенты /2, ... ,//=*+2 уже не могут все обращаться в нуль устойчивым образом. В таком семействе наихудшее, что может случиться,— это то, что / (если не принимать во внимание факториальные множители) будет иметь следующее представление в неморсовской критической точке:
f(x) = fk+2Xk+2 +fk+3Xk+3+ •••• (22.15)
В 1-параметрическом семействе функций ведущий, отличный от нуля член разложения в ряд Тейлора имеет степень, меньшую или равную 3; в 2-параметрическом — х4 (или л:3, или х2, или х) и т. д.
2.4. Ростки с 1= 2
В этом случае ровно два собственных значения обращаются в нуль. Если «плохие» переменные у\ и у2 обозначить соответственно через х и у [у\ = х и у2 = у] и для удобства считать,
Трансверсальность
243
что критическая точка находится в начале координат, то без учета факториальных коэффициентов в качестве аналога формулы (21.1) получим
f (х, у, С) = /20 (С) Г2 + fn (С) ХУ + /02 (с) У2 + /зо (с) *3 + .... (22.16)
Произведя усечение ряда до членов р-й степени, имеем, начиная с квадратичных членов, D = (р + 2) (р+ 1) /2 — 3 коэффициентов. Следовательно, множество
^(^) = {/2o> /п, /о2; /зо, /21. •••} . (22.17)
является многообразием размерности А в R®. Если k ^ 3, то все три квадратичных коэффициента могут обращаться в нуль устойчиво, так что ведущими членами будут кубические. В гл. 3 было показано, каким образом члены третьей степени и выше могут быть приведены к канонической форме, при условии что коэффициенты кубических членов не могут обратиться в нуль одновременно.
2.5. Ростки с I = 2, k ^ 7
В этом случае устойчиво может случаться следующее: коэффициенты трех квадратичных и четырех кубических членов разложения (22.16) одновременно обращаются в нуль. Тогда ведущими членами разложения в ряд Тейлора функции f(x, у, с) в окрестности критической точки становятся члены четвертой степени, и наилучшее, что можно сделать, — это рассмотреть следующую каноническую форму, получаемую при помощи гладкой замены координат:
/ (х, У; с) = ± х'* + ах'2у'2 ± г/'4, а2 — 4 Ф 0, (22.18)
где а не может быть задан равным ±1,0. Как уже было показано (гл. 3), ростки с / = 2, k > 6 зависят от модулей.
2.6. Ростки с I = 3, k ^ 6
При 1 = 3 разложение в ряд Тейлора функции f(x, у, г; с) в окрестности критической точки имеет шесть квадратичных членов, десять кубических членов и т. д. Используя теперь уже стандартные рассуждения, мы получим, что все шесть квадратичных коэффициентов могут обращаться в нуль устойчиво в семействах с k ^ 6. При k = 6 десять оставшихся кубических членов могут быть приведены к канонической форме, которая зависит от одного модуля [ср. (3.49)].
244
Глава 22
3. ВЫВОДЫ
Применяя понятие трансверсальности к пространству усеченных разложений функций в ряд Тейлора, можно получить важнейшую информацию как о функциях, так и о семействах функций. Следствия трансверсальности многообразий и отображений— плотность, устойчивость и возмущения — могут быть использованы для формального обоснования большинства интуитивных соображений, изложенных в гл. 3, и особенно тех, что касались формулы (3.28).
Применяя понятие трансверсальности к членам первой степени разложения в ряд Тейлора, мы установили, что свойство функции иметь изолированную критическую точку является наследственным и устойчивым. При обсуждении поведения второй степени разложения в ряд Тейлора функции в критической точке было показано, что неморсовские функции с I «плохими» переменными могут устойчиво встречаться в ^-параметрических семействах функций в том случае, если k ^ 1{1 + 1) /2.
Соображения трансверсальности дают также информацию о структуре ростков неморсовской функции в вырожденной критической точке. Например, при I — 1 в ^-параметрическом семействе функций имеется возможность устойчиво встречать ростки вида xl(j^k + 2), однако росток хк + 3 не может уже встречаться наследственно. Случай I = 2 не может .встречаться устойчивым образом в ^-параметрическом семействе, если только не k ^ 3. В этом случае росток зависит от членов третьей степени и выше. Кроме того, с помощью замены переменных эти члены можно привести к некоторой канонической форме. Достаточно сказать, что в ^-параметрическом семействе все квадратичные и кубические члены могут обращаться в нуль устойчиво. Оставшийся росток тогда должен зависеть по крайней мере от одного модуля. Случай I = 3 может устойчиво встречаться лишь в ^-параметрическом семействе функций, где k ^ 6, при этом росток также будет зависеть по крайней мере от одного модуля.
ООО Трансверсальность оказывается чрезвычайно полезным и важным понятием при изучении устойчивости и всюду плотности отображений и функций. В дополнение к ссылкам, использованным в данной главе, трансверсальность рассматривается в работах [3—6].
Литература
1. Thom R. Les singularites des applications differentiables, Ann. Inst. Fourier, 6, 43—87 (1955—1956).
