Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
к —2 (два управляющих параметра). В этом случае (!?) является двумерным многообразием в Rn(n+>)/2 Это многообразие может пересекать трансверсально V\ по одномерному
240
Глава 22
2
fn-
2
a=JW,
-—-зт
Рис. 22.10. При наличии всего лишь одного управляющего параметра 9" (S’) представляет собой одномерную кривую.
При п = 2 подмножество точек, в которых матрица устойчивости f ц особенна, имеет две компоненты. Это V, (в ней лишь одно собственное значение равно нулю) и вершина конуса Vn (в ней обращаются в нуль оба собственных-значения). & может пересекать трансверсально Vt лишь в изолированных точках, поскольку 1 + 2 — 3 — 0, но of (S') не может пересекать трансверсально V2, так как 1 + 0 - 3 < 0.
подмногообразию, однако по размерностным соображениям оно не может пересекать W
Следовательно, в 2-параметрическом семействе функций лишь одно собственное значение может обращаться в нуль устойчиво, но не два.
k = 3 (три управляющих параметра). В этом случае 9~(SP) является трехмерным многообразием, которое может пересекать Vi трансверсально в R«(«+1>/2 по двумерному подмногообразию, V2 трансверсально по изолированным точкам и не может пересекать трансверсально Уз- Следовательно, в 3-параметрическом семействе функций два собственных значения обращаются в нуль устойчивым образом лишь в изолированных точках.
k управляющих параметров. В этом случае ЗГ(<р) имеет размерность k в R«(«+l)/2 и возможность трансверсального пересе-
Him 1/. -4- Him ОТ — Him IP'
,п(п+1)/2
Трансверсальность
241
чения с Vi определяется разностью
k — • (22.10)
Если эта разность больше или равна нулю, то и Vi могут
пересекаться трансверсально по многообразию этой размерности; если же эта разность меньше нуля, то эти два многообразия не могут пересекаться трансверсально. Как следствие, получаем, что три собственных значения не могут устойчивым образом обращаться в нуль до тех пор, пока мы не дойдем до 6-параметри-ческого семейства функций, а четыре собственных значения — пока не достигнем 10-параметрического семейства функций, и т. д.
2.3. Ростки с I— 1
Рассмотрим качественные изменения свойств функций в не-морсовских критических точках и покажем, что число членов разложения в ряд Тейлора, которые необходимо оставить помимо квадратичных членов, зависит как от размерности k пространства управляющих параметров, так и от числа I собственных значений, которые могут обращаться в нуль в неморсовской критической точке.
Предположим, что функция f(x; с), зависящая от п переменных состояния и k управляющих параметров, имеет критическую точку х? при с = с0, в которой точно I собственных значений матрицы устойчивости обращаются в нуль. Тогда, используя лемму расщепления, можем сделать гладкую замену координат и рассмотреть лишь интересующую нас неморсовскую функцию /лш от I переменных состояния у\, ..., yt и k управляющих параметров. Эта функция /лш может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (у — у0) (22.1). Так как у0 — критическая точка, то все ее первые производные равны нулю. Когда с = с0, то все ее вторые производные также обращаются в нуль. Поскольку критическое значение ftмм в точке (г/°; с0) для нас не важно, то мы будем считать, что оно также равно нулю.
Следовательно, качественное изменение в поведении функции fiчм(у\ с) в окрестности точки (г/°; с0) определяется
разложением типа (21.1), начинающимся с квадратичных членов. Определим теперь, сколько первых коэффициентов разложения в ряд Тейлора могут устойчиво обращаться в нуль в рас* сматриваемом Л-параметрическом семействе функций. Это можно сделать посредством построения р-струи функции /, имеющей размерность D = (I + р)\/1\р\ — I—1, так как в критической точке fi(y°) —0(1 ограничений) и критическое значение f(y°) = = 0 (1 ограничение). Следовательно, оставшиеся коэффициенту
242
Глава 22
fa (с), fnk(c), fijk...p{c) дают параметрическое представление некоторого ^-мерного многообразия в RD,
В случае / = 1 только одно собственное значение обращается в нуль, так что имеется лишь одна «плохая» переменная у\, которую для удобства обозначим через х, и для удобства положим л;0 = 0. Аналогом формулы (21.1) является
}р1ым(х'> С)=-?Г Ыс)*2 + -^1з(с)х3 + + -jj-fp(c)xp. (22.11)
Множество из р — 1 коэффициентов
P(P) = {f3(c), h(c), .... fp(c)} (22.12)
дает параметрическое представление некоторого ^-мерного многообразия в = Rp_1. Определим линейные векторные подпространства Tj в Rp_1 следующим образом:
7*2 = {0, /з, /4. .... /Р}>
7’з = {0, 0, h, .... /„}, (22.13)
^ = {0, 0, .... 0, /ж, ...,/р}.
Тогда 2Г(&) может пересекать Q = Tj трансверсально в пространстве R* = Rp_1, если
dim 9- (0) + dim Т, > dim Rp~ *,
k + (p-i)>p- 1. (22.14)
Короче говоря, в 1-параметрическом семействе коэффициенты ряда Тейлора (/0, /ъ)/2, //=*+1 могут все обращаться в нуль