Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Координаты f(x°; с0), fi(x°; с0), fij(х°\ с0), ..., которые присутствуют в формуле (21.1), являются в этом случае функциями n-\-k переменных (a:0; c°)^RN®Rk. Используем п степеней свободы в местонахождении критических точек так же, как это делалось в разд. 2.1. Это значит, что в критической точке ненулевые координаты (21.1) являются функциями к управляющих параметров са, а = 1, 2, ..., к. В частности, в любой критической точке я0 элементы матрицы устойчивости fij (с0) являются функциями к управляющих параметров. Поскольку лишь л(п+ 1) /2 элементов матрицы независимы [так как fij = //г], то множество
*П*) = {/пИ, fnn(c°)} (22.2)
является параметрическим представлением ^-мерного многообразия в Rntn+!)/2 Иначе говоря, квадратичные члены (21.2) в разложении (21.1) задают отображение $Г из пространства управляющих параметров 9>=Rk в пространство R^ = |Rn(n+1)/2-
Теперь рассмотрим подмножество точек R^n+i)^ в которых det fij = 0. Так как fa — вещественная симметрическая матрица, то det fq = 0 только тогда, когда по крайней мере одно собственное значение равно нулю. Если обозначить через Vi множество точек из Rn<n+1>/2, в которых точно I собственных значений матрицы устойчивости равны нулю, то Vi будет определять некоторое многообразие размерности
(22.3)
238
Глапа 22
Чтобы сделать последнее утверждение о размерности более прозрачным, напомним, что вещественная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду посредством вещественного ортогонального преобразования, так что
N. у ч
О 0 0
?7'Vy0 = 0 О л
\ У
. (22.4)
Здесь предполагается, что в точности / собственных значений /,•; равны нулю. Диагональная (п — /) X (п—/)-подматрица Д определяется п—I параметрами. Это уравнение можно обратить, используя следующие соотношения:
О
Лс1]
fi,=
А В С D
1 Г О 0]М' с' 1 ГВАВ* BAD* Л
J L О д]|_В' D'I^YdAB* DAD* У
(22.5)
Любая вещественная ортогональная квадратная матрица порядка п определяется ti(n— 1)/2 вещественными числами [группа ортогональных преобразований 0(п) имеет размерность п(п — 1)/2]. Независимые параметры, характеризующие матрицу О, могут быть взяты такими же, как и элементы матрицы, лежащие выше главной диагонали. В этом случае подматрица В имеет размерность 1(п — /), а подматрицы А и D размерности 1(1 — 1) /2 и (п — I) (п — I — 1) /2 соответственно; подматрица С становится постоянной, как только заданы матрицы А, В и D. Квадратная матрица /,-/ порядка п в (22.5) определяется подматрицами В, D, Д; поэтому
dim fa = dim В + dim D + dim A =
(n-l)(n — l — l)
— I (n — I) +
(П-l):
n(n +!)-/(/+!)
(22.6)
Теперь можно определить типичные (наследственные) условия для ^-параметрического семейства функций, при которых обращаются в нуль / собственных значений матрицы устойчивости. Для этого используем результаты трансверсальности
Трансверсальность
239
отображений (разд. 1), предполагая, что
& — Rk, [пространство управляющих параметров
(&), задано формулой (22.2)].
Q = V„
R^ = («+1)/2
Тогда / собственных значений матрицы ///(с) обращаются в нуль, если ЗГ (&) хоть где-нибудь пересекает Vi. Это свойство является наследственным, если пересечение трансверсально. Но 3F'(9>) и Q пересекаются трансверсально в RN только в случае, если
h _|_ ^ ~Н 1) п(п ~Н О
2 *><4^’ <22'7)
Рассмотрим несколько частных случаев.
k = 0 (нет управляющих параметров). В этом случае местонахождение критической точки задает все элементы матрицы fij. Поэтому матрица устойчивости представляется точкой (нульмерным многообразием) в Rn(n+!)/2. Как было показано (пример
5 и рис. 22.5), точка не может пересечь трансверсально многообразие размерности меньше, чем п(п-{- 1)/2 в Rn(n+!)/2 Из свойств трансверсальных отображений следует, что функции с морсовскими критическими точками в х° всюду плотны в множестве всех функций с критической точкой в х°. Кроме того, если функция / случайно имеет неморсовскую критическую точку в х°, то небольшое ее возмущение удаляет эту особенность.
k — 1 (один управляющий параметр). В этом случае &(&) является одномерным многообразием в Rn(n+1)/2. Такое многообразие может пересекать V\ трансверсально лишь по многообразиям размерности
k — /(/^П =1 — 1=0, (22.8)
т. е. в изолированных точках (рис. 22.10 при п = 2). Однако уже не может пересекать V% V3, ... трансверсально. Если отображение / возмущается, то кривая ЗГ {&) также деформируется, но пересечение остается трансверсальным вблизи исходных точек пересечения. Как было показано в 1-параметрическом семействе функций, обращение в нуль одного собственного значения в изолированной точке является наследственным свойством всюду плотно).
