Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Т рансверсальносгь
235
Пример 9 (рис. 223). Пусть Q есть ось х в пространстве R2, 9> = R1, а отображение 9~ задается следующим образом:
касательный вектор к многообразию iF(R¦) в единственной точке его пересечения с многообразием Q равен
Следовательно, отображение SF не трансверсально Q.
Пример 10. Пусть Q есть ^-мерное многообразие, вложенное в RN, a S' — р-мерное многообразие. Тогда отображение SF задается посредством
Еслр У (S') и Q пересекаются в точке х° е R v [ST (у0) === х°], то касательное пространство к (S’) в точке х° порождается р векторами
«у-даерное касательное пространство к Q в точке х° порождается при помощи набора из q векторов «ь ..., ид\
Векторы i>i....vp, ut, ..., Uq порождают пространство R" в точке х°,
если (р + <?) X N — матрица, первые р строк которой задаются (22.lv), a q последних строк (22.lu) содержат невырожденную квадратную подматрицу порядка N. Очевидно, если р + q < N, это невозможно.
Перечислим основные следствия понятия «отображение трансверсально многообразию»:
— если &~($?) трансверсально Q р R^, то:
a. если p + q<N, то &~(!?) и Q вообще не должны пересекаться.
b. если p-\-q^N, то &~ {&) и Q должны либо вообще не пересекаться либо пересекаться по некоторому многообразию размерности р + q — N ^ 0;
— если (&) трансверсально Q и отображение подвер-
гается возмущению, в результате которого получается отображение то трансверсально Q. Если и Q не пе-
ресекаются, то &~'(&>) и Q также не пересекаются. Если ^~(У) и Q пересекаются трансверсально в многообразии Ж, то ^'(Р) и Q' пересекаются трансверсально в многообразии Ж', которое является возмущением Ж\
tes-R1
(SFx (0, Гг (t)) = (t\ t*) e R2.
(22.lv)
(22.1u)
236
Глава 22
— множество отображений 2Г\ 3>-> Rw, которые трансвер-сальны многообразию Q, всюду плотно в множестве всех отображений многообразия 3* в RN. Это означает, что любое отображение <?-+RN (трансверсальное @ или нет) может быть с произвольной точностью аппроксимировано трансверсальными отображениями.
1.3. Отображение трансверсально другому отображению
Если SF отображает р-многообразие & в Rw, а отображает ^-многообразие Q в RN, то возникает вопрос, является или нет отображение !F трансверсальным отображению !?. Это обсуждение в основном следует направлениям, указанным в разд. 1.2., приводя к аналогичным заключениям. Поэтому мы не будем его здесь приводить.
ООО Использование понятия трансверсальности, особенно трансверсальности отображения и многообразия (разд. 1.2), приводит к наиболее важным результатам, когда в качестве евклидова пространства Rw берется пространство k-струй /ftf~RD.
2. ПРИЛОЖЕНИЯ
2.1. Линейные члены
Рассмотрим критические точки гладкой функции f от п переменных и покажем, что эти точки изолированы.
Если вычислить р-струю функции f в соответствии с формулой (21.2), то D — (п + р)!/«! ее координат f(x°), fi(x°), fij(x°), ..., fij...p{x°) являются функциями ТОЧКИ ^ G R", в которой проведено разложение в ряд Тейлора. Таким образом, D
координат, зависящих от п переменных, дают параметрическое представление «-мерного многообразия в RD. Другой, но эквивалентный путь —это задать отображение jpf: RN-+RD посредством x°eRN-+jpf(x°) аналогично отображению У{3>).
Критические точки функции f встречаются, где V/ = 0, т. е. fi(x°) = ... = f„(x°) =0. Поэтому критические точки f встречаются лишь в подпространстве пространства RD, в котором все первые производные обращаются в нуль. Это линейное векторное подпространство имеет размерность D — «и соответствует подмногообразию Q. Так как
dim 0> = R") + dim (Q = RD~") > dim (jpf = R°),
« + D — n D,
то многообразие = jpf(x°) пересекает многообразие Q
в Rfl трансверсально по многообразию размерности n-\-(D —
Трансверсальность
237
— п) — D — 0, т. е. по изолированным точкам. Это значит, что типичные критические точки функции f(x) должны быть изолированными. Кроме того, в силу свойств трансверсальных отображений, если f(x) подвергается небольшому возмущению, то критические точки смещаются лишь слегка, но пересечение становится уже трансверсальным. Следовательно, возмущение мор-совской функции снова приводит к морсовской функции. И наконец, так как трансверсальные отображения всюду плотны, то любая функция /: R^—*R> может быть аппроксимирована с любой точностью функцией, имеющей лишь изолированные критические точки.
2.2. Квадратичные члены
Рассмотрим встречаемость неморсовских критических точек в семействах функций п переменных состояния и k управляющих параметров. Покажем, что число собственных значений матрицы устойчивости, которые могут в общем случае вырождаться в рассматриваемой точке, критически зависит от k.
