Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Рис. 22.2. Точки контакта (а, Ь) в которых кривая ^ пересекает поверхность сферы Q в пространстве R3, являются точками трансверсального пересечения. Эти два миогобразия не трансверсальны в точке с.
Трансверсальность
231
R
з
/
Рис. 22.3. Две сферы !? и Q в пространстве R3 пересекаются трансверсально по окружности Л при условии, что Ri + Rz > d > |/?t — /?2|. Точка контакта становится не трансверсальной, если одно из неравенств заменить на равенство. Пересечения совсем не будет, если любое из неравенств обратить.
Рис. 22.4. Две кривые в пространстве R3 не могут пересекаться трансверсально.
е Rw не могут порождать Rw. Следовательно, они могут быть трансверсальны лишь тогда, когда они вообще не пересекаются.
Наиболее важные моменты в понятии «трансверсальность многообразий» следующие:
1. Если У трансверсально Q в пространстве Rw, то:
а. если р + q ¦< N, то У и Q не должны пересекаться вообще;
б. если р q ^ N, то и С? должны либо не пересекаться вообще, либо пересекаться по многообразию размерности Р + Я —
2. Предположим, что & и Q подвергаются небольшому возмущению, в результате чего получим многообразия У и Q'. Тогда, если Ф трансверсально Q, то и трансверсально Q'. Если У и Q не пересекаются, то и У' и Q' также не пересекаются. Если У и Q пересекаются трансверсально на многообразии М, то У и Q' пересекаются трансверсально на многообразии JC', которое является возмущением Ж.
232
Глава 22
Рис 22.5. Точка в пространстве Клне может быть траисверсальна многообразию в этом пространстве размерности, меньшей, чем п.
3. Предположим, что 9 и Q подвергаются небольшому возмущению, в результате чего получим многообразия 9' и Q'. Если 9 не было трансверсально Q, то 9' будет трансверсально Q'.
Таким образом, трансверсальность является наследственным свойством многообразий (рис. 22.1—22.5).
1.2. Отображение трансверсально многообразию
Предположим, что (2* —многообразие размерности q в пространстве R^, а 9— многообразие размерности р, не лежащее в R^. Кроме того, предположим, что отображает 9* в R". Если &~{9) и Q пересекаются в точке х° е Rv, то пересечение в этой точке трансверсально, если касательные пространства к 9~(9*) и Q в их общей точке х° порождают RN.
Определение. Отображение трансверсально многообразию Q в пространстве [1] , если:
@~(9) трансверсально Q во всех точках их пересечения: (9) вообще не пересекает Q.
Пример 6 (рис. 22.6). Пусть Q—это одномерное многообразие (1,2, г), вложенное в R3, а ^ — двумерное многообразие в R3. Отобразим многообра-
9
зие & в R3, используя следующее отображение: (х, у) е R —> (2х, Зу,
е-(х’+у*)) е R3 Тогда и Q
пересекаются в точке х° = (1, 2,е~°‘т) в R3. В касательном пространстве к Й в точке х° можно взять базисный вектор fa = (0,0,1). В касательном пространстве к !F(&) в точке х° можно взять базисные векторы
v^4- (2х, Зу, e-<*+«rt |,о = (2, 0, - <Г0-694),
Ъ-±(2х, Зу, е-^\х,= (о, 3,
Трансверсальность
233
в точке.
ш’=$> t -----------•-
Рис. 22.7. Кривая S'(1?) = (t,t) пересекает трансверсально ось х в начале координат.
Так как
det
'2 0 — е-0'694
О 3 -±е-0-694
О
О О 1
= 6 ф о,
то векторы Pi, 02, v3 порождают пространство R3. Следовательно, ^"(5°) трансверсально Q в любой точке их пересечения. Пересечение остается транс-версальным и при возмущениях.
Пример 7 (рис. 22.7). Пусть Q — многообразие, совпадающее с осью х пространства R2, а отображение многообразия & = R1 в R2 задается формулой
(еРД (t, t) <= R2.
Касательный вектор к Q направлен вдоль оси х. В касательном пространстве к !F(R‘)b точке пересечения (0,0) можно взять базисный вектор (1,1). Эти два вектора порождают R2, так что отображение SF трансверсально оси .V.
Пример 8 (рис. 22.8). Пусть Q — ось х в пространстве R2, а & = R1. Определим отображение посредством выражения
t <= R1 -> (ST, (1), Г2 (t)) = (<+!,(<_ !)¦*) ,
R5
В этом случае имеется лишь одна точка контакта, а именно х°=(2,0). В касательном пространстве Q в точке (2,0) можно взять базисный
234
Глава 22
Рис. 22.8. Кривая У(&) (а) не трансверсальна оси х. Имеется точка двойного касания. Возмущенная кривая может пересекать ось х трансверсально в четырех точках, в двух точках (в, г) или совсем не пересекать (б).
R*=^>
Рис. 22.9. Кривая Э7 (&) = (/3, t3) пересекает ось х в начале координат, но это пересечение не трансверсальное, так как касательный вектор (вектор скорости) (3t2, 3t2) становится нулевым.
вектор (1,0). Касательное пространство к ^"R1 в точке х° имеет касательный вектор
(*>. ^2 (0) l(_, = (1. 4 (/ - I)3) 1^, = (1, 0;.
Эти два вектора параллельны, следовательно, они не могут породить пространство R2 в рассматриваемой точке (2,0). На рис. 22.8, б—г показано, какие последствия при трансверсальном пересечении может иметь небольшое возмущение отображения У,
