Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гилмор Р. -> "Прикладная теория катастроф Том 2" -> 86

Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф Том 2 — М.: Наука, 1990. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastrof1990.pdfСкачать (прямая ссылка): prikladnayateoriyakatastroft21990.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 121 >> Следующая


1. Если S~(S) пересекает (2 трансверсально в пространстве R^, то это верно для любого возмущения отображения

2. Множество отображений многообразия !Р в пространстве RN, трансвер-сальных Q, всюду плотно в множестве всех отображений многообразия & в R"

Следствия трансверсальности становятся значительно ощутимее, если пространство RN отождествить с конечномерным линейным пространством р-струй функций jpf.

В настоящей главе будет показано, что если в качестве многообразия Q зафиксировать линейное векторное подпространство R^, в котором коэффициенты линейных членов струи jpf обращаются в нуль, и положить & = Rre (пространство переменных состояния), то Э'(0>) будет гс-мерным подмногообразием R№ с координатами, параметризуемыми посредством точек х° е Rn, в которых производится разложение функции в ряд Тейлора. Из теоремы о трансверсальности следует, что свойство функций иметь только изолированные критические точки является наследственным и функции, обладающие этим свойством, устойчивы к возмущениям.

Можно зафиксировать & = Rfc (пространство управляющих параметров) и S~(3‘) (ft-мерное многообразие, точки которого имеют координаты, являющиеся коэффициентами ряда Тейлора струй jpf, рассматриваемых в критической точке); можно зафиксировать Q — Vi (где Vt — множество точек пространств RN, в которых ровно I собственных значений матрицы d2f/dxidxj, обращаются в нуль). В этом случае dim Vt — N — /(/ + 1) /2 и dim S' (!?) — ft, так что неморсовские критические точки для функций I «плохих» переменных состояния и ft управляющих параметров могут устойчиво встречаться только тогда, когда k ^ 1(1 + 1)12.

Кроме того, будет показано, что эти же методы могут быть использованы для выявления членов начальной части разложения функций I «плохих» переменных состояния и ft управляющих параметров в ряд Тейлора, которые могут устойчиво исчезать в неморсовской критической точке.
Трансверсальность

229

1. ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ

Понятие трансверсальности может быть обоснованно применено как к кривым, так и к многообразиям или к отображениям. Рассмотрим подробно наиболее часто встречаемые случае трансверсальности.

1.1. Многообразие трансверсально другому многообразию

Предположим, что —многообразие размерности р в пространстве Rw, a Q — многообразие размерности q, вложенное в RN. Эти многообразия могут пересекаться или нет. Если множества пересекаются в точке х° е Rw, то скажем, что они пересекаются трансверсально в х°, или трансвер сальны в л:0, если касательные к ним в точке х° порождают пространство RN.

Пример 1 (рис. 22.1). Две кривые 9> и Q в пространстве R2, каждая из которых является одномерным многообразием, пересекаются трансверсально в точках а и Ь, но не в точке с (рис. 22.1, а). Если одно из этих двух многообразий & или Q слегка пошевелить, то точка двойной особенности с либо расщепится в две изолированные точки трансверсального контакта ct и с2 (рис. 21.1,6), либо контакт исчезнет совсем (рис. 22.1, в).

Пример 2 (рис. 22.2). Кривая 9s пересекает сферу у в Rs трансверсально в точках а и Ь, но не в точке с.

Пример 3 (рис. 22.3). В пространстве R3 сферы 9> и Q пересекаются по окружности, которая является одномерным многообразием. Эти две сферы пересекаются трансверсально в любой точке данной окружности. Если же радиусы и центры этих двух сфер слегка изменить, то последнйе все еще трансверсально пересекаются по окружности, и новая окружность, лежащая в их пересечении, будет расположена вблизи исходной окружности.

Пример 4 (рис. 22.4). Одномерные многообразия & и Q пересекаются в точке х° е R3. Поскольку касательное пространство к 3* в точке я0 одномерно, так же как и касательное пространство к Q в х°, то невозможно сделать так, чтобы 9* и Q могли пересекаться трансверсально в R3. Если или 9>, или Q подвергнуть небольшому возмущению, то эти многообразия не будут пересекаться вообще.

Пример 5. Точка 9* является нульмерным многообразием, в то время как Q является двумерным многообразием, вложенным в R3. 9* и Q не могут пересекаться трансверсально, так как их касательные пространства имеют соответственно размерности 0 и 2. Таким образом, касательные пространства не могут породить пространство R3, имеющее размерность 3. Если Q пересекает то возмущение любого из этих многообразий имеет результатом ситуацию, в которой 9> и Q уже больше не пересекаются.

Определение. Два многообразия & и Q, вложенные в пространство R^, пересекаются трансверсально (или трансверсальны), если:

они пересекаются трансверсально во всех точках своего пересечения;

они вообще не пересекаются.

Если dim & -f- dim О = р + q< N, то касательные пространства многообразий и 0 в любой точке их пересечения х° е
230

Глава 22

5

8

Рис. 22.1.

с —две кривые 0* и Q в пространстве R2 пересекаются трансверсально в точках а и Ь, но не в с; б, в — прн произвольном возмущении кривые 0*г и Q? будут пересекаться трансверсально во всех точках контакта с вероятностью 1.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed