Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Проекция
(*; а, Ь)-------------->- (а, Ь),
а==:: А2,
Ь-----А3 —- А[А2
Якобиан этого отображения равен
(21.19)
да да
dKi дКз 0 1
дЪ дЬ I
dki (Ж‘2
= ЗА? + А2. (21.20)
8 Зак. 811
226
Глава 21
За исключением случая, когда А,2 = —ЗЯь этот якобиан отличен от нуля, и, следовательно, отображение обратимо. Множество исключительных точек определяет кривую
(*; а, &) = (Я,; -Щ, 2К\) (21.21)
в пространстве R3. Она представляет собой гладкую кривую в R3, состоящую из множества точек многообразия, в которых касательная к нему плоскость «вертикальна». Проекция этой кривой на плоскость управления имеет каспоидный изгиб:
(Я,; — ЭЯ?, 2Л?)->(а = -ЗЛ2, Ь — 2Я?). (21.22)
Уравнение этой каспоидной кривой может быть записано как
(-1Г=*.=(4Г
или
(-f)’=(4)!- <*¦•*>
Кривая (21.23) является «тенью», которую отбрасывает складка на поверхности (21.17) при освещении ее лучами, параллельными оси х.
Подчеркнем еще раз, что многообразие (21.17) гладкое, т. е. не имеет острых углов или особенностей^. То же можно сказать и о кривой (21.21). Эта кривая дает местонахождение всех вырожденных критических точек в семействе функций V(х\ а, Ь). Только отображение проектирования (21.19) содержит особенности. Проекция многообразия (21.17) на R2 разбивает плоскость управляющих параметров на открытые области; область
I (У имеет одну критическую точку) и область III (У имеет три морсовские критические точки). Линии складки (область II) соответствуют потенциальным функциям, имеющим одну невырожденную и одну дважды вырожденную критические точки, а изгиб соответствует потенциальной функции х4/4. Произвольное возмущение (21.15а) может изменить местонахождение и ориентацию сепаратрисы, однако оно не может изменить ее вида. Короче говоря, особенность в отображении проектирования устойчива относительно возмущений. Эта особенность является наследственным свойством проекций критических многообразий 2-параметрических функций на плоскость управляющих параметров.
5. ТЕОРЕМА ТОМА
Теперь сформулируем теорему Тома. Если f(x; с), jceR", се Rft,— гладкая функция, отображающая Rn <8> R*->-R1, то определим множество критических точек М; с: Rn+* как множество
Теорема Тома
227
точек, в которых градиент V^f = 0. Отображение проектирования if. Jtlf —*¦ R* определим так, как это было сделано в разд. 4. Обозначим через F множество всех гладких функций, отображающих R" <8> R*-*-[R1.
Теорема Тома. Если k^5, то существует открытое всюду плотное множество функций F* с: F со следующими наследственными свойствами (для f^F*): Mf — многообразие размерности к, любая особенность отображения проектирования %} эквивалентна одной из элементарных катастроф и %f локально устойчиво относительно малых возмущений функции f.
Теорема Тома, сформулированная в более удобной для прикладных целей форме, утверждает, что в типичном ^-параметрическом семействе функций (h ^ 5) п переменных — единственно неморсовские критические точки, которые могут быть встречены устойчиво, — имеют канонические формы, перечисленные в табл. 2.2.
6. ВЫВОДЫ
Для нематематика вся сущность элементарной теории катастроф заключена в табл. 2.2. Тем не менее, по-видимому, не совсем корректно обсуждать практическую значимость этой теории, не приводя формулировки теоремы Тома. Именно этот пробел и был ликвидирован.
В настоящей главе были введены такие понятия, как возмущение, устойчивость, наследственность и особенность. Это позволило, наконец, сформулировать теорему Тома.
ООО Математические понятия устойчивость, наследственность особенности более подробно представлены в работах [3—7].
Литература
1. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы ДАН СССР, 14, 247— 251 (1937).
2. Sussman Н. J. Catastrophe Theory, Synthise, 31, 229—270 (1975).
3. Арнольд В. И. Особенности гладких отображений. УМН, 1968, 23: 1, 3—44.
4. Golubitsky М., Guillemin V. Stable Mappings and Their Singularities, New York: Springer, 1973. [Имеется перевод: Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. — М.: Мир, 1977.]
5. Poston Т., Stewart 1. N. Taylor Expansions and Catastrophes, London: Pitman, 1976.
6. Zeeman E. C. Catastrophe Theory, Selected Papers 1972—1977, Reading: Addison-Wesley, 1977.
7. Poston Т., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Application, London: Pitman, 1978. [Имеется перевод: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. — M.s Мир, 1980.]
8*
22
ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ
Трансверсальность — чрезвычайно важное понятие, позволяющее ответить на вопросы об устойчивости и наследственности свойств функций и семейств функций. Два многообразия, вложенные в пространство R^, пересекаются трансверсально, если прямая сумма их касательных пространств в точке пересечения имеет размерность N. Два многообразия трансверсальны (или пересекаются трансверсально), если их пересечение пусто или они пересекаются трансверсально в любой точке своего пересечения. Аналогичные определения имеют силу и для пересечения одного многообразия Q, вложенного в R^, с образом другого многообразия &, отображаемого в при помощи отображения S'. Важными следствиями трансверсальности являются (1) устойчивость и (2) наследственность:
