Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
ООО Все утверждения о возмущениях (ч. I), сформулированные в терминах топологии С°° (открытость, плотность и др.), как правило, справедливы и для топологий (^(R^R1) или C“(R";Rm).
ООО Чтобы построить топологию, определяемую коэффициентами членов ряда Тейлора вплоть до k-w. степени, функция f должна быть по крайней мере k раз дифференцируема. Подобная проблема, как правило, не возникает, когда речь идет о применении топологии в тех областях науки и техники, где используются потенциальные функции, которые обычно являются гладкими, т. е. имеют производные всех порядков. Но при этом предполагается, что существует однозначное соответствие между функциями и их рядами Тейлора.
Однако подобное предположение справедливо только в том случае, когда функция f(x) является аналитической в точке л:0, т. е. ее ряд Тейлора в этой точке сходится к f(x) в окрестности точки х°.
Чтобы показать разницу между аналитическими и гладкими функциями, математики любят демонстрировать следующий математический «ужас»:
Все коэффициенты ряда Тейлора этой функции в нуле обращаются в нуль, так что ряд Тейло_ра гладкой функции h(x) сходится в точке х = 0 к нулевой функции. Для любых двух аналитических функций fi{x) и g(x) определим функцию f2(x) следующим образом:
h{x) = e~1/J?,( х ф О,
(21.4)
х = 0.
h М = fi (х) +g(x)h (х),
или
f2(x) = fi(x)[\—h(x)]k, k
= 1, 2....................
или
— e-g №/*’], Хф0.
х = 0, 8(0)>0. (21.5)
Функция /2(*) гладкая и имеет ряд Тейлора, в точности совпадающий в нуле с рядом Тейлора функции fi{x). Однако /2(*) Ф
Теорема Тома
219
?=fi{x)\ следовательно, функция f2{x) не аналитична в нуле. Короче говоря, для любой аналитической функции fi (х) существует .большое семейство гладких, но не аналитических функций, имеющих то же разложение в ряд Тейлора.
И все-таки идея отображения функции в евклидово пространство RD с целью получения топологии является полезной и привлекательной. Мы используем этот подход в качестве некоторого эвристического средства. Результаты, которые приводятся ниже, верны как для аналитических, так и для гладких функций.
2. УСТОЙЧИВЫЕ ФУНКЦИИ
В общем случае функция является устойчивой или структурно устойчивой, если ее свойства качественно не изменяются под действием возмущения. В гл. 4 было показано, что в интуитивном смысле потенциальная функция устойчива в точках, где W =5^ 0, и в морсовских критических точках. Однако этого нельзя сказать о вырожденных критических точках. Пусть V(xu ..., хп)—потенциальная функция, a ef(xь ..., хп)—ее возмущение. Тогда функция V устойчива в точке я°еК", если существует такая гладкая замена координат х] = х](х\, хп), что новая (возмущенная) функция V = V + е/ в новой системе координат имеет ту же самую структуру, что и старая функция в старой системе координат:
Следовательно, в окрестности морсовских седел функции локально устойчивы.
Пример 2. Функция f(x)~ х3 не является устойчивой в вырожденной критической точке х = 0, так как возмущение либо удаляет критическую точку вообще (рис. 6.1, а\ > 0), либо расщепляет ее в невырожденные критические точки (рис. 6.1, а.\ < 0).
ООО Функции, локально устойчивые во всех точках, в которых они определены, называются устойчивыми, глобально устойчи-
V'(x') = V(x).
(21.6)
Пример 1. Предположим, что в морсовской критической точке
V (*) = + х\ + ... + х2п.
(21.7)
Таким образом, если взять
(21.8)
(21.9)
220
Глава 21
Рис. 21.1.
Кривая, соединяющая точку р3 области 111 с точкой pi области I, пересекает кривую складки в некоторой ее точке рг. При возмущении кривая, соединяющая точку р3 с р{ , пересекает кривую складки в некоторой точке pv расположенной вблизи Рг¦ Таким образом, вырожденные критические точки могут быть устойчиво встречаемы в семействах функции, даже если они были структурно неустойчивы, когда встречались в изолированных функциях.
выми или структурно устойчивыми. Функция f(x)=x3 не является глобально устойчивой, так как она не устойчива в точке х = 0. Функции F(х\ а{) = х3агх— это морсовские функции, если ai ф 0; поэтому эти функции глобально устойчивы.
Пример 3. Если рассмотреть семейство функций /43, то члены этого семейства, параметризуемые точками открытых областей I или III (рис. 21.1), являются морсовскими функциями. Возмущение ef = (6а/2)х2 + (6b)x такой функции дает «близкую функцию» со свойствами, качественно тождественными свойствам исходной функции. Единственными неустойчивыми функциями в этом семействе являются функции, параметризуемые полукубической параболой (область II) или началом координат, так как возмущение (6а, 6Ь) перемещает эти точки либо в область I, либо в область III.
ООО Иногда выдвигаются иные условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы быть глобально устойчивой. Одно из них состоит в том, что функция должна иметь различные значения в разных критических точках. Относительно такого условия семейство Аз уже не было бы устойчивым на луче а < 0, Ь = 0 (штриховой луч на рис. 21.1), так как два минимума в точках х = ± V—а имеют одинаковые значения (в силу симметрии). Это и есть то существенное различие, которое имеется между локальным бифуркационным множеством и нелокальным бифуркационным множеством (множество Максвелла).